Un poco más de lecturas de Manin

Dos ensayos me han llamado la atención: uno sobre Cantor y su herencia, otro sobre Aritmética y Física – sobre la manera como postula Manin la “física adélica”, combinando lo real y lo p-ádico.

En su ensayo sobre Cantor arranca Manin lanzando una analogía entre el problema P/NP y el axioma de elección (después de comentar la saga triste Cantor-König y la respuesta de Zermelo – e insistir en que lo importante en matemática no son los problemas sino los programas de investigación). El argumento va más o menos así (resumiendo mucho): sea U_m={\mathbb Z}_2^m el conjunto de las m-sucesiones de ceros y unos. Se puede identificar cada subconjunto de U_m con el nivel 0 de una única función f\in B_m:={\mathbb Z}_2[x_1,\cdots,x_m]/(x_1^2+x_1,\cdots x_m^2+x_m) – claramente, B_m es el álgebra de funciones polinomiales booleanas en m variables. El problema de Zermelo “escoja un elemento de cada subconjunto no vacío de un conjunto U” ahora se puede leer como “dado un polinomio booleano, encuentre un punto en el cual el polinomio valga 0, o demuestre que el polinomio es idénticamente 1“. Además, queremos resolver el problema en tiempo polinomial sobre el input del código de f. Esto es un problema NP-completo, si uno escribe los polinomios booleanos en forma normal disyuntiva f_u:=1+\prod_{i=1}^N(1+\prod_{k\in S_i}(1+x_k)\prod_{j\in T_i}x_j), donde u es el código dado por la familia \{ m;(S_1,T_1),\cdots,(S_N,T_N)\} para m\in {\mathbb N}, S_i,T_i\subset \{ 1,\cdots,m\}. El código u tiene mN bits. ¡También es NP-completo verificar que un polinomio booleano dado en forma normal disyuntiva no sea constante!

De ahí deriva Manin a las discusiones que aparentemente se dieron en 1905 cuando Zermelo presentó su artículo – que resonaron tanto durante la discusión del panel con Woodin y Gromov en Nueva York en 2013: la psicología de la imaginación matemática y la confiabilidad de sus productos. Preguntas como ¿Cómo se sabe si durante una demostración uno sigue pensando en el mismo conjunto? aparentemente surgían todo el tiempo – en el fondo análogas a preguntas sobre igualdad o no de dos códigos de polinomios booleanos dados. Manin salta a redes visuo-espaciales de lóbulos parietales derechos e izquierdos, y otros tecnicismos anatómicos cognitivos.

Para ahí y salta a un “argumento” en contra de la Hipótesis del Continuo, de Freiling, mencionado por Mumford. El argumento de Freiling en el fondo es una versión ligera de la versión de Scott y Solovay del forcing de Cohen, en términos de “conjuntos lógicamente aleatorios” – Scott y Solovay incluyen variables aleatorias en la lista de nociones básicas y llegan lejos (recuerdo que Kunen al enseñar forcing arrancaba dando ejemplos parecidos de experimentos mentales – “demostraba” la falla de la Hipótesis del Continuo agregando “a mano” muchos reales (sucesiones de ceros y unos) y “probando” que eran distintos (realmente dando un argumento probabilístico) antes de formalizar). Todo eso es variante de la misma idea. Lo interesante en Manin es que hace una comparación muy sugestiva entre la diferencia entre experimento mental y deducción lógica. El argumento “de Freiling” (o el que daba Kunen informalmente en clase antes de definir los detalles) es realmente un experimento mental (como los de las consecuencias dinámicas de la imposibilidad del perpetuum mobile, agrega Manin), a diferencia de los trabajos de Scott y Solovay, que sí son teoremas precisos. Para Manin, los experimentos mentales son una versión de lado derecho del cerebro de las operaciones lógicas (lado izquierdo)… al igual que las metáforas.

El problema, concluye, es que las metáforas no se dejan convertir en piezas de construcción, no se dejan acumular. Si uno trata de armar edificio a punta de pura metáfora, se cae tarde o temprano.

Concluye con una bonita frase: la física disciplina los experimentos mentales, al igual que la poesía disciplina las metáforas – pero sólo la lógica tiene una disciplina interna.

El otro artículo es bien distinto: arranca con la famosísima fórmula de Euler \pi^2/6=\prod_p(1-p^{-2})^{-1}, donde el producto recorre todos los primos (y hace notar que al lado izquierdo tenemos una constante “física” y al lado derecho una suma aritmética – en principio dos “topoi” muy distintos). Pasando por explicaciones sobre p-ádicos y el teorema de Ostrowski (toda norma es arquimedeana o p-ádica para algún p), aterriza en lo que llama la “democracia adélica”: la fórmula inmediata \prod_v|a|_v=1 – donde v es un primo o \infty, para cualquier racional a (equivalentemente, |a|_\infty=\prod_p|a|_p^{-1}). De ahí se salta a adèles (vistas como sucesiones (a_\infty,a_2,a_3,a_5,a_7,\cdots) con a_\infty\in {\mathbb R}, a_p\in {\mathbb Q}_p y |a_p|_p=1 para casi todo p), construye el círculo adélico A_{\mathbb Q}/{\mathbb Q}=({\mathbb R}\times \prod_p{\mathbb Z}_p)/{\mathbb Z}, y finalmente al grupo adélico no conmutativo SL_2(A_{\mathbb Q}) – sobre este define una medida dm=\prod_vdm_v invariante a izquierda (de manera análoga a la componente clásica SL_2({\mathbb R}), la normaliza mediante \int_{SL_2(A_{\mathbb Q})/SL_2({\mathbb Q})}dm=1… al final del día explica Euler así: 1=\int_{SL_2(A_{\mathbb Q})/SL_2({\mathbb Q})}dm=\int_{SL_2({\mathbb R})/SL_2({\mathbb Z})}dm_\infty\times \int_{SL_2({\mathbb Z}_p)}dm_p, pero (usando el truco de Poisson clásico) la componente real \int_{SL_2({\mathbb R})/SL_2({\mathbb Z})}dm_\infty=\pi^2/6 y la componente p-ádica, por otro lado sale por conteo de cardinal de SL_2 sobre campos finitos (p^3-p puntos)… con lo cual \int_{SL_2({\mathbb Z}_p)}dm_p=1-p^{-2}. Pegando todo esto se obtiene la fórmula de Euler.

Lo bueno de esto es que queda clara la separación de roles entre lo real y lo p-ádico – pero todo queda capturado en el conjunto de adèles. Llega mucho más lejos (fórmulas de alturas en campos numéricos, y más aprovechamiento de esta “reciprocidad” entre lo real y lo p-ádico dentro de los adèles, y en últimas su rol en los trabajos de Voevodsky en esquemas de aproximación de redes en teoría de cuerdas (de nuevo el reemplazo de superficies de Riemann suaves por superficies métricas trianguladas, con métricas de conteo).

Todo esto tiene conexiones modelo-teóricas que algunos colegas han examinado de maneras interesantes (pienso sobre todo en Hrushovski), que podrían tener mucha más resonancia que la que ha surgido hasta ahora. Detrás de esto surgen varios haces de manera natural.