de ciertas simetrías

Ahora que se ha dicho tanto sobre la Catedral después del incendio de ayer, no tengo mucho que agregar. Eso sí, sentí muy fuertemente el peso de lo efímero de nuestra época al contrastarlo con una obra hecha durante varias generaciones de artesanos, arquitectos, ingenieros, maestros en vitrales, talladores. Hecha durante más de un siglo como algo colectivo y (a pesar del desastre de ayer) eminentemente perdurable. Miles de piedras imbricadas unas en otras, talladas para que empaten sin argamasa ni cemento de ninguna clase, aparentemente algunas con mensajes o grafitis de los maestros que diseñaron las claves de su soldarse. Quién sabe cuántos talleres de fundición de plomo y creación de vidrios coloreados con minerales (y quién sabe cuántos muertos prematuramente por los efluvios tóxicos), todos soñando esas vidrieras abrumadoras de color y simetría y belleza. Quién sabe cuántos ensayos con pesas y cuerdas para lograr la forma perfecta de los contrafuertes.

Hace año y medio, en octubre, pasé una mañana por Notre-Dame cuando estaban abriendo las puertas, como a las 7 o 7:30, no recuerdo. Había salido a correr por el río y a tomar fotos del amanecer parisino. Pasar por Notre-Dame más tarde era verla con hordas de turistas y no daban ganas de entrar; en contraste, esa mañana no había prácticamente nadie más. Estaba terminado de ajustar una charla difícil de dar, en un evento sobre el Infinito que reunía mentes de disciplinas muy variadas, al día siguiente y tenía la mente repleta de posibilidades aún en fermento.

La soledad de Notre-Dame esa mañana, el poder entrar y estar ahí un rato, prácticamente solo durante un buen rato, fue algo muy único. Me dediqué a intentar registrar, con cámara móvil, algunas simetrías.

Al día siguiente durante la presentación usé una de esas fotos, al tratar de evocar la jerarquía de grandes cardinales para un público que constaba de matemáticos pero también de artistas, filósofos e historiadores del arte. Mi colega (que ha dedicado buena parte de su vida a extraer aún más simetrías de los grandes cardinales, a enfatizar el rol de los principios de reflexión) Joan Bagaria habló en ese mismo evento sobre la simetría peculiar presente en los grandes cardinales.

Va un pequeño álbum con fotos (¡cámara móvil!) de algunas de esas simetrías.


Large cardinals in AECs: back to the road.

The connections between Model Theory and Large Cardinals have recently been given a very interesting boost (and twist) in the work of Will Boney, a graduate student at Carnegie Mellon University.

Boney builds his results on a line originally opened in the papers by Makkai and Shelah ([MaSh:285] Categoricity of theories in L_{\kappa\omega}, with \kappa a compact cardinal — Annals Pure and Applied Logic 47 (1990) 41-97) and Kolman and Shelah ([KoSh:362] Categoricity of Theories in L_{\kappa,\omega}, when \kappa is a measurable cardinal. Part 1 — Fundamenta Math 151 (1996) 209-240) and a follow-up by Shelah ([Sh:472] Categoricity of Theories in L_{\kappa^* \omega}, when \kappa^* is a measurable cardinal. Part II — Fundamenta Math 170 (2001) 165-196): use of strongly compact ultrafilters to get relatively strong “compactness-like” properties, uses of measurable embeddings to get reasonable independence notions.

But Boney seems to go much further: by taking seriously the consequences of the presence of the embeddings and ultrafilters, he provides

  • a Łoś Theorem for Abstract Elementary Classes – under strongly compact cardinals \kappa: closure under (\kappa-complete) ultrapowers of models in the AEC, connections between realization of types inside monster models of the class, in both the ultrapower and the “approximations”
  • a duality (under categoricity at some \kappa – no large card. hypotheses here) between tameness and type shortness. Tameness can be regarded as a strong coherence property over domains, for types, type shortness is the analog but switching the coherence from domains of the types to realizations of the type
  • under a proper class of strongly compact cardinals, nothing less than a version of the Shelah Conjecture (eventual Categoricity Transfer from a Successor, for AECs) – Boney essentially gets tameness and type shortness of such classes; the meat of the proof really is there
  • under smaller large cardinals (measurables, weakly compacts, etc.), he gets different, weaker results, by using ultrapower techniques allowing him to gain control of properties of the class – reflection properties become crucial for model theoretic properties other than categoricity (stability, amalgamation, uniqueness of limit models!)
  • finally, his results open up many questions that puzzle one: what is the actual strength of Shelah’s Conjecture? where can the counterexamples started by Hart and Shelah (and refined by Baldwin and Kolesnikov) be pushed?

Here is also a skeleton for a Seminar Lecture in our Logic Seminar in Bogotá (in Spanish).

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Ed Pien – Spellbound (picture by avn, Toronto 2012)