Un poco más de lecturas de Manin

Dos ensayos me han llamado la atención: uno sobre Cantor y su herencia, otro sobre Aritmética y Física – sobre la manera como postula Manin la “física adélica”, combinando lo real y lo p-ádico.

En su ensayo sobre Cantor arranca Manin lanzando una analogía entre el problema P/NP y el axioma de elección (después de comentar la saga triste Cantor-König y la respuesta de Zermelo – e insistir en que lo importante en matemática no son los problemas sino los programas de investigación). El argumento va más o menos así (resumiendo mucho): sea U_m={\mathbb Z}_2^m el conjunto de las m-sucesiones de ceros y unos. Se puede identificar cada subconjunto de U_m con el nivel 0 de una única función f\in B_m:={\mathbb Z}_2[x_1,\cdots,x_m]/(x_1^2+x_1,\cdots x_m^2+x_m) – claramente, B_m es el álgebra de funciones polinomiales booleanas en m variables. El problema de Zermelo “escoja un elemento de cada subconjunto no vacío de un conjunto U” ahora se puede leer como “dado un polinomio booleano, encuentre un punto en el cual el polinomio valga 0, o demuestre que el polinomio es idénticamente 1“. Además, queremos resolver el problema en tiempo polinomial sobre el input del código de f. Esto es un problema NP-completo, si uno escribe los polinomios booleanos en forma normal disyuntiva f_u:=1+\prod_{i=1}^N(1+\prod_{k\in S_i}(1+x_k)\prod_{j\in T_i}x_j), donde u es el código dado por la familia \{ m;(S_1,T_1),\cdots,(S_N,T_N)\} para m\in {\mathbb N}, S_i,T_i\subset \{ 1,\cdots,m\}. El código u tiene mN bits. ¡También es NP-completo verificar que un polinomio booleano dado en forma normal disyuntiva no sea constante!

De ahí deriva Manin a las discusiones que aparentemente se dieron en 1905 cuando Zermelo presentó su artículo – que resonaron tanto durante la discusión del panel con Woodin y Gromov en Nueva York en 2013: la psicología de la imaginación matemática y la confiabilidad de sus productos. Preguntas como ¿Cómo se sabe si durante una demostración uno sigue pensando en el mismo conjunto? aparentemente surgían todo el tiempo – en el fondo análogas a preguntas sobre igualdad o no de dos códigos de polinomios booleanos dados. Manin salta a redes visuo-espaciales de lóbulos parietales derechos e izquierdos, y otros tecnicismos anatómicos cognitivos.

Para ahí y salta a un “argumento” en contra de la Hipótesis del Continuo, de Freiling, mencionado por Mumford. El argumento de Freiling en el fondo es una versión ligera de la versión de Scott y Solovay del forcing de Cohen, en términos de “conjuntos lógicamente aleatorios” – Scott y Solovay incluyen variables aleatorias en la lista de nociones básicas y llegan lejos (recuerdo que Kunen al enseñar forcing arrancaba dando ejemplos parecidos de experimentos mentales – “demostraba” la falla de la Hipótesis del Continuo agregando “a mano” muchos reales (sucesiones de ceros y unos) y “probando” que eran distintos (realmente dando un argumento probabilístico) antes de formalizar). Todo eso es variante de la misma idea. Lo interesante en Manin es que hace una comparación muy sugestiva entre la diferencia entre experimento mental y deducción lógica. El argumento “de Freiling” (o el que daba Kunen informalmente en clase antes de definir los detalles) es realmente un experimento mental (como los de las consecuencias dinámicas de la imposibilidad del perpetuum mobile, agrega Manin), a diferencia de los trabajos de Scott y Solovay, que sí son teoremas precisos. Para Manin, los experimentos mentales son una versión de lado derecho del cerebro de las operaciones lógicas (lado izquierdo)… al igual que las metáforas.

El problema, concluye, es que las metáforas no se dejan convertir en piezas de construcción, no se dejan acumular. Si uno trata de armar edificio a punta de pura metáfora, se cae tarde o temprano.

Concluye con una bonita frase: la física disciplina los experimentos mentales, al igual que la poesía disciplina las metáforas – pero sólo la lógica tiene una disciplina interna.

El otro artículo es bien distinto: arranca con la famosísima fórmula de Euler \pi^2/6=\prod_p(1-p^{-2})^{-1}, donde el producto recorre todos los primos (y hace notar que al lado izquierdo tenemos una constante “física” y al lado derecho una suma aritmética – en principio dos “topoi” muy distintos). Pasando por explicaciones sobre p-ádicos y el teorema de Ostrowski (toda norma es arquimedeana o p-ádica para algún p), aterriza en lo que llama la “democracia adélica”: la fórmula inmediata \prod_v|a|_v=1 – donde v es un primo o \infty, para cualquier racional a (equivalentemente, |a|_\infty=\prod_p|a|_p^{-1}). De ahí se salta a adèles (vistas como sucesiones (a_\infty,a_2,a_3,a_5,a_7,\cdots) con a_\infty\in {\mathbb R}, a_p\in {\mathbb Q}_p y |a_p|_p=1 para casi todo p), construye el círculo adélico A_{\mathbb Q}/{\mathbb Q}=({\mathbb R}\times \prod_p{\mathbb Z}_p)/{\mathbb Z}, y finalmente al grupo adélico no conmutativo SL_2(A_{\mathbb Q}) – sobre este define una medida dm=\prod_vdm_v invariante a izquierda (de manera análoga a la componente clásica SL_2({\mathbb R}), la normaliza mediante \int_{SL_2(A_{\mathbb Q})/SL_2({\mathbb Q})}dm=1… al final del día explica Euler así: 1=\int_{SL_2(A_{\mathbb Q})/SL_2({\mathbb Q})}dm=\int_{SL_2({\mathbb R})/SL_2({\mathbb Z})}dm_\infty\times \int_{SL_2({\mathbb Z}_p)}dm_p, pero (usando el truco de Poisson clásico) la componente real \int_{SL_2({\mathbb R})/SL_2({\mathbb Z})}dm_\infty=\pi^2/6 y la componente p-ádica, por otro lado sale por conteo de cardinal de SL_2 sobre campos finitos (p^3-p puntos)… con lo cual \int_{SL_2({\mathbb Z}_p)}dm_p=1-p^{-2}. Pegando todo esto se obtiene la fórmula de Euler.

Lo bueno de esto es que queda clara la separación de roles entre lo real y lo p-ádico – pero todo queda capturado en el conjunto de adèles. Llega mucho más lejos (fórmulas de alturas en campos numéricos, y más aprovechamiento de esta “reciprocidad” entre lo real y lo p-ádico dentro de los adèles, y en últimas su rol en los trabajos de Voevodsky en esquemas de aproximación de redes en teoría de cuerdas (de nuevo el reemplazo de superficies de Riemann suaves por superficies métricas trianguladas, con métricas de conteo).

Todo esto tiene conexiones modelo-teóricas que algunos colegas han examinado de maneras interesantes (pienso sobre todo en Hrushovski), que podrían tener mucha más resonancia que la que ha surgido hasta ahora. Detrás de esto surgen varios haces de manera natural.

Manin, sobre el conocer matemático

Notas tomadas al vuelo durante lectura del ensayo de Manin Mathematical Knowledge: Internal, Social and Cultural Aspects.

(Me prestaron el libro de ensayos Mathematics as Metaphor de Manin – que mis colegas Alex y Sharon (él lógico, ella topóloga algebraica) tenían por ahí en la sala de su casa. Ha sido lectura complementaria interesante en esta visita de conversaciones mezcladas con caminatas, en el mejor estilo ruso; aunque dan ganas de escribir ensayo/respuesta a Manin – no tanto reseña, pues este libro debe haber sido reseñado mil y una veces, por ahora me limito a lectura.)

  • No sé cómo traducir trickster. Pero parece ser uno de los temas claves en el análisis lingüístico de Manin. No lingüística comparativa: a Manin le interesa entender el surgimiento del lenguaje mucho antes de lo accesible a la lingüística usual (y defiende su propio diletantismo en el asunto – como algo muy moscovita de los años 80 y como la garantía de originalidad). Parole previa a langage. Y el rol de los tricksters, de los dueños de trucos mágicos como iniciadores del lenguaje. Él menciona a Dante y Shakespeare en ese rol compartido con los antiquísimos chamanes. Yo agregaría a Grothendieck y aún más profundamente a Shelah. Pero aún así es tan increíblemente especulativo ese capítulo de Manin que asusta un poco. Aparentemente en su seminario moscovita participaban psicólogos, lingüistas, matemáticos, físicos. Deben haberlo obligado a afinar bien su teoría.
  • Hoy en mi charla un especialista en teoría de números coreano se interesó por maneras de hacer cálculos de series de Eisenstein usando análisis no estándar (parte de nuestro tema). Hizo preguntas muy agudas, pero me hizo ver que vamos por buen camino. De los lógicos casi no he obtenido gran inspiración en esos temas – no esperaba recibir preguntas hoy de alguien que de verdad hace cuentas de teoría de números, y que encontró natural el uso de tantos ultraproductos asociados a hiperfinitos.
  • Arranca luego Manin a hablar del rol de la lógica como “lingüística” de la matemática – cita la famosa frase de Atiyah “The three great branches of mathematics are, in historical order, Geometry, Algebra and Analysis. Geometry we owe essentially to the Greek civilization, Algebra is of Indo-Arab origin and Analysis (or the Calculus) was the creation of Newton and Leibniz…” Y luego explica que en física las tres ramas corresponden respectivamente al estudio del Espacio/Tiempo/Continuo. Y luego arranca una discusión con esa frase de Atiyah. Básicamente Manin está de acuerdo con que Geometría es Espacio en sentido extendido, pero que Álgebra sea Tiempo es más problemático. Entra a la pelea de palabras versus fórmulas como algo históricamente importante, y aterriza (obviamente) en la Lógica, para la cual Manin (¡un geómetra!) pide campo ahí al lado de las tres grandes ramas. O como parte del Álgebra – para que (dice Manin) ahí sí sea verdad lo del tiempo. Pero el aterrizaje decepciona un poco: le asigna ese rol de “álgebra=lógica=tiempo” a los trabajos de Turing en computación. Y claro, la algorítmica es temporal. Pero de Manin (del autor de Methods of Homological Algebra, nada menos) se podría esperar que supiera del rol temporal mucho más profundo que tiene la lógica en haces y en categorías.
  • Yo en realidad no creo que el Álgebra sea lo temporal. El álgebra es la simetría brutal de la geometría: se mide con grupos, con acciones, con grupoides de enlace, con teoría de Galois, con reciprocidad de Gauß y con el programa de Langlands. Con teoría de modelos. Claro – lo temporal regresa al considerar que en realidad todos esos objetos actúan (casi siempre – a veces pseudo-actúan) sobre “objetos” geométricos. Claro, muchas veces (pace Manin mismo) actúan sin que se sepa sobre qué lo hacen pero igual actúan. Y la lógica permite recuperar trazas de esas acciones. Una de las creaciones más singulares de la lógica, las clases elementales abstractas, son la teoría de las trazas de lógicas fuertes en un mundo donde desapareció el aparato de medirlas, de detectarlas. Pero eso no quiere decir que no estén ahí – al igual que la cantidad de trazas de nuestro pasado geológico, paleontológico, lingüístico, que están ahí cada vez que subimos a alguna loma, cada vez que vemos un fósil, cada vez que entramos a un lugar construido sobre otro (aún no lo sepamos), cada vez que hablamos. Las clases elementales abstractas de Shelah son la lógica del sustrato que permanece cuando no se cuenta con la seguridad de las bellas y viejas fórmulas.
  • Se va luego Manin a los objetos matemáticos. Esos que Rota dice “no importan”, pues lo que importa es solamente su invarianza bajo acciones, bajo presentaciones, bajo cambios. Leer a Rota cuando aún no había nacido (o sea, antes del doctorado) me marcó fuertemente. Sospecho (gracias a Rota) de cualquier mención de “objetos matemáticos”. Él hace un argumento delicado y técnico usando fenomenología (que es como una matemática de la filosofía – interna como debe ser y a la vez autorreflexiva) para mostrar por qué la noción de objeto matemático no tiene sentido, es una no-noción. [Alguna vez con Alejandro Martín y alguna vez con Mark Ettinger rehicimos todo el camino del argumento (elegante y contundente).] Pero eso no necesariamente invalida la pregunta de Manin: What are we studying when we study mathematics? Trata de responder que son ideas que se dejan manipular como si fueran cosas reales. Aunque es un poco vago, da dos propiedades cruciales: la invarianza (de nuevo, como Rota) bajo cambio de contexto, y el potencial de hacer conexiones con otras ideas matemáticas: la capacidad de formar complejos – como si fueran bloques simpliciales. Y da ejemplos bellos de visualización cultural: en los naturales, señala el rol problemático del dos (Nirvana = nir-dva-n-dva, dva = dos y Nirvana es la “cancelación” del dos, la unidad – dubius es duda es doble, Zweifel es dos es duda). Más ejemplos se van a reales, álgebra geométrica, e^{\pi i}=-1, los conjuntos de Cantor [Unter einen ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M gennant werden) zu einem Ganzen.]. ¿Qué tipo de objetos son todos esos… ?!?
  • Pero aunque es bonita la conexión lingüística con el sánscrito y siempre impresiona releer a Cantor (más en alemán que en español o en inglés), se va un poco por las ramas Manin y no tiene la elegancia del argumento filosófico puro y duro de la fenomenología. Sigo dudando seriamente de los objetos matemáticos. Reemplazaría los objetos como punto de partida por fenómenos. Así como para Manin son tan importantes las ideas, creo que uno podría arrancar con fenómenos primordiales como punto de partida – y obviamente de regreso frecuente: el fenómeno de la incompletitud (título de un libro de lógica) viene a la mente, pero muchos otros más: el fenómeno de la compacidad (que tantas cosas ilumina en lógica, a veces con luz excesiva), el fenómeno de la continuidad, de la analiticidad (en boca de Zilber es casi el mismo que el fenómeno de la categoricidad no numerable), el fenómeno de la ergodicidad, el de la superestabilidad, el de la reflectividad. Podría ser un punto de partida mejor para las visiones que propone (de manera tan bella y tan efectiva) Manin.
  • Manin arranca todo peleando con Mallarmé: tout existe pour aboutir à un livre decía el poeta – Manin responde “sí pero no” – cierto de mucha matemática que en el fondo es lingüística-lógica-palabras, pero en un sentido más profundo no: son ideas, construcciones, intuiciones. Y se atreve a decir Manin, de pronto en poesía también, pese a Mallarmé. En esto sí coincido fuertemente con Manin. Mallarmé es la etapa I, revolucionaria e importantísima, pero existe una etapa II (y de pronto una III, etc.).