una década después

Esta vez me gustó mucho más Leeds que hace diez años. Estuve durante una semana agotadora pero hermosísima en un congreso de Categorías Accesibles y Conexiones (http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtadb/AccessibleCategories2018/Schedule.html) con teoría de conjuntos, teoría de modelos y teoría de homotopía.

Y hubo de todos esos temas, bastante.

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Lo mejor fue la calidad de la interacción – gente como Tibor Beke (con un pie sólidamente en las categorías accesibles pero con excelente intuición y bastante formación tanto en grandes cardinales como en algo de estabilidad) hace que ir a esas charlas sea un placer por las preguntas y los comentarios finales – gente como Menachem Magidor le da una altura y visión a esas interacciones que realmente rara vez se vive.

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Para mí fue una manera de forzarme a pensar de nuevo en interpretación en teoría de modelos – un tema que considero muy importante (la tesis de mi estudiante Johan García sobre trabajos previos de Hrushovski y Kamensky, y los trabajos de algunos ahora me llevaron por ese camino) – con Zaniar Ghadernezhad logramos seguir un poco adelante en trabajos que iniciamos hace unos tres o cuatro años y que tenía medio abandonados/pospuestos.


¿Pero por qué me gustó tanto Leeds esta vez, comparando con la anterior hace diez años?

Tal vez las razones son más internas que externas. La ciudad ciertamente parece estar más afianzada en su espíritu post-industrial. Como buena ciudad inglesa, está excesivamente comercializada, la comida es relativamente poco imaginativa pero hay cosas buenas de India y ahora de China – aunque tampoco nada del otro mundo – y ocasionalmente un muy buen fish and chips. No es nada de eso.

Es más la presencia de tanta gente con tantas pintas de tantos lugares, y el no sentir tanta presión por que sean muy ingleses, ni muy nada todos. Francia (por contraste) siempre vive como obsesionada por decir que todo lo que les conviene es “francés” y (como pasó esta semana en esa carta absurda de un embajador a un comediante, a Trevor Noah) sigue armando debates patafísicos donde no los hay. En Leeds simplemente parecía haber ausencia de tanta bobada, y simplemente gente de decenas de orígenes ahí trabajando medio tranquilamente – me pareció.


Visualmente hay cosas tremendamente llamativas en Leeds (y también en Manchester). Pongo algo de eso a continuación. Es una profusión de espacios post-industriales, de canales, de antiguas fábricas reconvertidas, de máquinas decimonónicas que parecen flores y espigas, monstruos de manga y plantas carnívoras, de espacios comerciales que parecen un huevo por dentro – o evocan simultáneamente el Coliseo de Roma y el Panteón. Gente en un tren nocturno atestado (gente esa sí toda muy blanca y con decoraciones rosadas) saliendo de un concierto de una banda de mujeres jóvenes.

Y también una ausencia de foto (por razones de seguridad personal).

 

gaps – subir regulariza / gelato en Bogotá

En la última sesión de su minicurso hoy Miguel Moreno demostró que en cardinales no contables \kappa=\kappa^{<\kappa} la relación de equivalencia de isomorfismo-T \approx_T de estructuras de tamaño \kappa (una relación de equivalencia en el espacio de Borel generalizado \kappa^{\kappa}) es continuamente reducible a \approx_{T'} cuando T es “menos compleja” modelo-teóricamente (clasificable) que T’ (por ejemplo, si T’ es superestable con sDOP o si es estable no superestable).

Más allá de los detalles técnicos (pesados) de esto, lo interesante es que dos nociones de complejidad aparentemente muy dispares terminan coincidiendo en cardinales no contables suficientemente grandes: la jerarquía de estabilidad y la reducibilidad (Borel o continua) de relaciones de equivalencia asociadas a las teorías en el espacio de Baire.

Es uno de los casos en que para cardinales suficientemente grandes la teoría de modelos danza en buen ritmo con la topología (de Baire).

Lo más interesante es que en el caso clásico (contable, teoría descriptiva de conjuntos) no sucede ésto. Allá la jerarquía de estabilidad y la de reducibilidad-Borel se comportan de manera bastante disonante.

Todo esto es parte del tema más general de búsqueda de regularidad esencial en teorías de primer orden, una vez se permite uno a sí mismo subir más en los cardinales.

Cardinales más grandes —– Mayor regularidad de comportamiento


Un poco como si el infinito si no es muy grande contuviera aún mucho “ruido” pero este ruido se disipara al subir más.


La variante más famosa y conocida (aunque mal – poca gente incluso en teoría de modelos conoce la demostración) es el Main Gap de Shelah. Lo que sucede en estos teoremas de teoría descriptiva de conjuntos generalizada que mostró Miguel Moreno es que de alguna manera el Main Gap también se captura con teoría descriptiva de conjuntos… siempre y cuando la libere uno de la hipótesis de trabajar en espacios polacos.


Este tipo de “regularización arriba” ocurre en otros temas también: en propiedades de grupos de automorfismos (la propiedad SIP vale automáticamente en modelos saturados no contables de teorías de primer orden, como probaron Lascar y Shelah e incluso vale en modelos no contables asociados a clases cuasiminimales como demostramos con Ghadernezhad – ¡pero puede fallar de manera estrepitosa en muchas teorías contables!), etc.


Hoy tuvimos seminario entre la 1:30 y pasadas las 5 de la tarde. Miguel habló todo ese tiempo sobre estos temas. Fue muy interesante sumergirse en ese mundo por unas horas.


Después del seminario pasé en la bicicleta a probar los helados de Selva Nevada en el Parkway. Creo con toda honestidad que es la primera heladería seria que ha surgido en Bogotá. Nada del nonsense de Orzo (con sus sabores chimbos tipo Oreo o Nutella), y mejor aún que la de Gastronomy Market de la 72 con 5 – mejor textura, nada de perfumes raros. Verdadero gelato que se merece el nombre. No había probado nunca helado serio en Bogotá.

curiosamente…

… el álgebra diferencial, tema del que siempre me mantengo a distancia prudente, llegó en forma de una pregunta hoy. Uno de los profesores de ese seminario Kolchin (de Phyllis Cassidy) me preguntó durante la charla si el efecto de la ecuación diferencial (de tercer orden) que satisface j había sido estudiado usando teoría de modelos. Y claro que lo ha sido, por Scanlon y coautores. Curiosamente, las herramientas que mencioné hoy eran puramente aritméticas, nada diferencial nunca. Puras acciones de grupos, límites proyectivos de estos, representaciones de Galois, análisis de tipos en términos de lenguajes de cuerpos, el teorema de Keisler… pero por otro lado está ese trabajo de Scanlon sobre j, con herramientas tan distintas (y resultados tan distintos también)…

… no me alcanzó el tiempo para decir gran cosa sobre el caso de j real…

… pero agradecí enormemente que el seminario de Kolchin y gente de teoría de números del seminario de Szpiro fueran a mi charla – era en el contexto del seminario de teoría de modelos, pero en CUNY hay un ambiente saludable de ir a charlas de gente de otros grupos… las preguntas que hicieron sobre límites proyectivos, grupos de congruencia, análisis vía álgebra diferencial… fueron lo mejor – disfruté dar la charla, sobre todo por las preguntas que me abren panoramas interesantes que desconozco…

noche / luz / compl

La luz nocturna me intriga, desde hace un buen tiempo. La no presencia del sol, la posibilidad de ver cosas ligeramente distintas con cámaras que tienen sensores buenos, la exposición con tiempos altos (montañas quietas, árboles movidos por la brisa, levemente “uncanny”, la aparición de algún pájaro o perro que se atraviesa en la foto de larga exposición y queda espectral). A veces la misma mano mía, intentando sostener un pulso de varios segundos pero fallando, termina dando a las fotos nocturnas la impresión de un paso fugaz de algo. En algunos casos incluso, si uno no sabe que la foto fue tomada de noche podría pensar que fue de día, pero si mira más puede detectar cierta frialdad de la luz, cierta quietud, incluso cierto pietismo abstracto de la ausencia del sol.

Breaking syntax molds

Of course in Mathematics we have always been quite formalism-free, quite glad to jump from “First Order” to “Second Order” logic without missing a heartbeat, quite glad to dwell in Semantics as our home-base, quite glad to regard the insistence of some logicians on first order formalizations with a little of the same puzzled horror we normally reserve for items like a 19th century corset. Some logicians have actually dug hard into the mathematical (and logical, and philosophical) root of this phenomenon: there are solid intrinsic reasons why we can do away with syntax most of the time. Mathematical logic (especially in the neighborhood of second order model theory, its sister set theory and the formalism-freeness aware abstract elementary classes) has long been able to account for those phenomena.

Excessive insistence on syntax normally seems to be the hallmark of pedantic philosophers, or of computer scientists. Mathematical logicians (especially Model Theorists) usually try to stress the “mathematical” and deemphasize the “logician” in them – often for good reasons, sometimes with a bit of envy of the rest of mathematicians too evident perhaps.

In Gödel’s 1946 paper (for the Bicentennial at Princeton), as Juliette Kennedy has remarked, a framework for breaking syntax is set up, a framework that can be seen to oddly combine the insight obtained from Turing (that helped unify the many previously logic-dependent or syntax-dependent notions of computability due to Gödel, Church and others) with the quest for new axioms for mathematics. Lately (cf. Kennedy’s Dublin lecture) these breaks of syntax have been realized in several domains: (1) the development of “transdefinability hierarchies” (Kennedy, Magidor, Väänänen) where the idea of iterating the construction of L by Gödel is transferred to other logics [and apparently for logics with the cofinality quantifier a robust definition is obtained]  –  the structures obtained are now called C*(L) where L is a logic and some of them exhibit interesting behavior, (2) the development of “symbiotic” notions between set theory and second-order logic (symbioses can be seen as extremely rich adjoint pairs) capturing compactness, amalgamation, Löwenheim-Skolem phenomena and much more (Väänänen), (3) the development of Model Theory in a very syntax-free manner through abstract elementary classes (Shelah opened that door, several people went in [not en masse] and have done hard work in extending Classification and Stability Theory in a way that reveal structural features not depending on first order syntax), extracting structure way beyond the pale of first order logic yet with a robust classification theory, allowing other kind of symbioses with both set theory (large cardinals, forcing) and geometry (sheaves, accessible categories) – albeit with a firm connection to syntax and even first order through the Presentation Theorem – aecs are really versions of projective classes, and this fact underlies much of the strength of this generalization, in spite of its strong freedom from syntax; and (4) a blend of some of the previous with sheaves (this builds on earlier work of Macintyre and of Grothendieck himself, and through several stages has distilled several semantic/syntactic “blends” and limits – Caicedo’s “sheaf-generic models” (a version of ultraproducts, aware of topology, encompassing usual set-theoretic generic models) an important step in this distilling process – more recently, metric versions and awareness of group actions on the sheaves (joint work with colleagues and students in Bogotá: Padilla, Ochoa) and Zilber’s very recent “Weyl sheaf” – lifting classical semantics/syntax through five stages of generalization of the classical “algebra/geometry” duality (quotients of polynomial rings by ideals/algebraic varieties with Zariski topology all the way through C*-algebras/Zariski geometries) onto the Weyl sheaves.

Al viento

La canción famosísima (e infinita) de Dylan… en una interpretación bellísima de Peter, Paul and Mary cuando los famosos eran ellos y Bob Dylan aún era visto más como un autor que como un cantante. La voz de Mary Travers en frases de entrada de la canción es impresionante. Igual la armonía del trío vocal. Gloriosos 1960s.

Semana de ausencias y presencias, de cavar y buscar, de sentir vacío y sentir felicidad, en montaña rusa emocional. Semana de búsqueda de ir más allá de lo puramente emocional (a veces es muy difícil) y captar. Semana de puertas cerradas, de narices frías presentidas pero no sentidas, de montaña llena de gente y vacía, de interrogantes y salves. Y de encuentros impresionantes con amigos de los tres, que estuvieron ahí, abrazando desde Bogotá, Chía, Nueva York, Knoxville, Pittsburgh, Ontario, Francia, el Báltico.

Y la lectura de una bande dessinée de Marc-Antoine Mathieu: Dieu en personne, un relato curiosísimo y muy emparentado con Lem, con el Lem de Golem XIV. Dios en persona se aparece aquí abajo en esta época, lo censan, no les cuadra y comienzan a estudiarlo, a tratar de clasificarlo. Lo meten en un especie de reality francés, de horror puro. Lo meten en un lawsuit norteamericano de proporciones universales, lo convierten en un ser mediático – una cárcel de lujos. El Dios de Mathieu nunca pelea – tiene una ironía suave con todo lo que le pasa, como alguien que vería los juegos locos, loquísimos (hasta divertidos si no fueran de esa tristeza tan brutal de la estupidez humana). No los juzga nunca: es un especie de Dios-ser puro que simplemente se contenta con ser, con haber creado todo, incluso esa locura de mundo.

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Mathieu tiene otras BDs muy peculiares – de un lente casi belga en su sutileza y su gusto por los espacios mentales ideales – los belgas son herederos de Magritte al hacer cómics (Schuiten-Peters), pero a la vez muy parisino en su verbosidad y dialéctica. Una (3″) sobre un rayo de luz que recorre durante 3 segundos … la cantidad de kilómetros que debe recorrer un rayo de luz en ese tiempo larguísimo – y a través de reflejos puros va contando la historia de un crimen de corrupción, de mafia, de asesinato, de traición. El rayo de luz cuenta directamente todo eso al reflejarse en relojes, ojos, espejos, vidrios, fuselajes, telescopios, planetas, lágrimas, teléfonos celulares.

Caminatas de la ausencia, pero importantísimas. Pala, tierra, azadón – a través de la greda de Chía. Cal viva. Una rosa – la mejor de todo ese jardín, para el viaje a otro plano de realidad. Sudor, cabeza repleta de tierra y greda, mejor tal vez el ejercicio físico extraño para la enajenación. Lo peor es quedarse en la casa.

Hoy fuimos con María Clara y con Teo (el sobrino, pequeño de dos años) a La Calera, por la lluvia. Nos metimos (al azar) por las carreteras veredales de ese municipio de verdes y montañas, oyendo rajaleñas, torbellinos, joropos, rumbas y guabinas boyacenses – bien cantadas y con letras adaptadas a edades distintas de las usuales (un ejercicio impresionante de adaptación de repertorio de regiones de Colombia, con letras que pueden sacar una sonrisa, dar refranes que puede repetir alguien que está empezando a hablar pero a la vez no insultar la inteligencia adulta y sonar bien para la manejada bajo la lluvia). El bajo continuo, ostinato, chaconudo, walking blues de la lluvia y el gris sobre el verde de esas montañas definitivamente permite una desconexión y abstracción de uno mismo, necesaria así sea por un rato al día. Hipnosis del gris, en momento dowlándico.

Sorpresa con Nozick: hace preguntas sobre lógica temporal que me parece que no se pueden reducir a los meros modelos de Kripke – requieren posiblemente haces, pero creo incluso que no se pueden reducir al caso topológico – habrá que generalizarlos. En las hendiduras curiosas Nozick pregunta de manera muy seria sobre la propiedad de eventos en física que si bien ocurrieron de tal manera (sin superposición) en tiempo t_0, en algún tiempo posterior t_1 pueden de nuevo no haber ocurrido – o por lo menos no de la manera medida en tiempo anterior t_0. La semántica usual de haces en ese sentido es demasiado clásica por ser acumulativa en subabiertos. Claramente esos experimentos que menciona Nozick no pueden reducirse a nuestros buenos y bellos haces, y requieren una matemática acaso más “torcida sobre sí misma”.

Pero aún estamos en etapa muy primitiva: entendí el lunes pasado por qué son necesarias categorías abelianas para hacer cohomología (o teoría de modelos) de G-estructuras (estructuras sobre las cuales actúa un grupo fijo G). Algo que no está directamente en ninguna parte, pero que está seguramente implícito en trabajos de hace más de cuarenta años.

Omitir

Andy Goldsworthy - from Rivers and Tides
Andy Goldsworthy – from Rivers and Tides

Uno de los teoremas que me gusta enseñar en los cursos de teoría de modelos es el de Lachlan. No, no el famosísimo de Baldwin-Lachlan, ese es otro. El de Lachlan. Es un teorema que sospecho no es tan conocido como otros: preguntando entre mis colegas modelo-teoristas en Bogotá noté que nadie lo conocía (aunque probablemente conocen variantes con técnicas de Ehrenfeucht y Mostowski). Eso obviamente no implica nada: probablemente gente de otras generaciones sí lo conoce. El de Lachlan es un teorema de omisión de tipos – en realidad de transferencia de omisión de tipos de modelos no contables a modelos de cardinal arbitrariamente grande … y no de tipos completos, sino de pedazos contables de tipos completos.

Es una de las cosas que hacen bien Tent y Ziegler en su libro: antes de meterse con pares de Vaught y teorías fuertemente minimales, dan una prueba de Morley descendente, que se desprende de Lachlan directamente. Es una delicia dar esa prueba en clase. Sigo lo que hacen los dos autores al explicar su prueba. Continue reading “Omitir”

Un seminario tri-direccional

El seminario de Geometría y Teoría de Modelos este semestre está en modo jónico: en contraste con el modo dórico del semestre pasado, cuando todo estaba super-anunciado de antemano y muy organizado, este semestre son puras jam-sessions, improvisaciones según lo que vaya saliendo. Esa alternación entre modos dóricos y jónicos (o mayores y menores, o visibles y bajo perfil, si se quiere) me gusta. Permite mostrarse un poco en los semestres visibles, hacer algo de pasarela matemática, invitar gente, ser visible. Pero luego alterna uno con el trabajo yamsesionado, más libre, con unos pocos estudiantes y el visitante ocasional, y avanza uno en ideas matemáticas durante los semestres menos visibles. Somos unos cinco o seis, pero es realmente muy peculiar que es un seminario que jala en tres direcciones distintas.

Ayer mi charla se llamaba Haces de tipos y tipos de haces y daba los primeros pasos hacia lo que deberá venir después de nuestro artículo con Gabriel Padilla y nuestro artículo con Maicol Ochoa. Iniciamos ahora sí el camino hacia estabilidad (pero desde el principio tratando los espacios de tipos como lo hace la gente de Grupos Compactos: como espacios-moduli o foliaciones o cocientes de haces cuyas secciones son los tipos orbitales, tratando de usar al máximo la geometría desde el principio). Ayer inicié en lo más básico del mundo con un test de Tarski-Vaught para extensiones elementales de haces, luego seguí a tipos-haces y teorías-haces (surgieron varias preguntas técnicas naturales: exactitud y coherencia de los prehaces asociados, universalidad local y \kappa-saturación local de prehaces – y conexiones posibles con el trabajo de Will Boney en su teorema de Łoś generalizado a clases elementales abstractas bajo grandes cardinales).

Pero lo más interesante fue contar con las preguntas de los geómetras (Gabriel y su estudiante Walter Páez, que está realmente a mitad de camino, pues anda estudiando estabilidad en teoría de modelos también) y las preguntas de teoría de Ramsey de Goyo – Goyo logró ver similitud entre mis construcciones y trabajos de Natasha Dobrinen con Stevo Todorcevic – trabajos en que acumulan espacios de Ramsey, van dando mejores y mejores aproximaciones (obviamente, muy combinatorias), controlan ultrafiltros con el orden de Tukey-reducibilidad (aparentemente ortogonal a nuestras clasificaciones, si le creemos a Artem y a John)… y el punto de vista de sistemas dinámicos.

El 20 27 de mayo hablará mi estudiante Johan García (que vendrá de Medellín) sobre formalismo tannakiano – Johan viene de la teoría de la representación (trabajaba con Zavadskyy hasta la muerte súbita de ese profesor) y decidió aterrizar en la teoría de modelos, vía Hrushovski y Kamensky. Creo que será interesante contrastar.

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Óscar Muñoz – Autorretrato en agua sobre piedra

fff back in shape

Our Model Theory and Set Theory blog (fff – Forking, Forcing and back&Forthing) is back in shape! You can read recent posts by Artem Chernikov on the SOP_n hierarchy inside NTP_2 theories, on counterexamples for forking, dividing, invariance, a post by myself from a couple of weeks ago on large cardinals in abstract elementary classes, and older posts by Ayhan Günaydın on Pila-Wilkie and by John Goodrick on bi-embeddability and the Schröder-Bernstein property!

fff
(Click on the picture to go the blog…

Large cardinals in AECs: back to the road.

The connections between Model Theory and Large Cardinals have recently been given a very interesting boost (and twist) in the work of Will Boney, a graduate student at Carnegie Mellon University.

Boney builds his results on a line originally opened in the papers by Makkai and Shelah ([MaSh:285] Categoricity of theories in L_{\kappa\omega}, with \kappa a compact cardinal — Annals Pure and Applied Logic 47 (1990) 41-97) and Kolman and Shelah ([KoSh:362] Categoricity of Theories in L_{\kappa,\omega}, when \kappa is a measurable cardinal. Part 1 — Fundamenta Math 151 (1996) 209-240) and a follow-up by Shelah ([Sh:472] Categoricity of Theories in L_{\kappa^* \omega}, when \kappa^* is a measurable cardinal. Part II — Fundamenta Math 170 (2001) 165-196): use of strongly compact ultrafilters to get relatively strong “compactness-like” properties, uses of measurable embeddings to get reasonable independence notions.

But Boney seems to go much further: by taking seriously the consequences of the presence of the embeddings and ultrafilters, he provides

  • a Łoś Theorem for Abstract Elementary Classes – under strongly compact cardinals \kappa: closure under (\kappa-complete) ultrapowers of models in the AEC, connections between realization of types inside monster models of the class, in both the ultrapower and the “approximations”
  • a duality (under categoricity at some \kappa – no large card. hypotheses here) between tameness and type shortness. Tameness can be regarded as a strong coherence property over domains, for types, type shortness is the analog but switching the coherence from domains of the types to realizations of the type
  • under a proper class of strongly compact cardinals, nothing less than a version of the Shelah Conjecture (eventual Categoricity Transfer from a Successor, for AECs) – Boney essentially gets tameness and type shortness of such classes; the meat of the proof really is there
  • under smaller large cardinals (measurables, weakly compacts, etc.), he gets different, weaker results, by using ultrapower techniques allowing him to gain control of properties of the class – reflection properties become crucial for model theoretic properties other than categoricity (stability, amalgamation, uniqueness of limit models!)
  • finally, his results open up many questions that puzzle one: what is the actual strength of Shelah’s Conjecture? where can the counterexamples started by Hart and Shelah (and refined by Baldwin and Kolesnikov) be pushed?

Here is also a skeleton for a Seminar Lecture in our Logic Seminar in Bogotá (in Spanish).

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Ed Pien – Spellbound (picture by avn, Toronto 2012)

Independència(s)

Parece que la Independència de Catalunya ahora sí va en serio. Por lo menos eso podría uno concluir por mero conteo, al notar que El País dedica dos artículos de su pantalla principal en internet al tema (el segundo, nada menos que un llamado de Juan Luis Cebrián a la “cordura”). Por otro lado Avui suena como si la independencia ya fuera inminente y se pregunta cosas como si el ejército español enviará los tanques contra Cataluña, si Cataluña quedará fuera de la UE o fuera del euro. En uno de esos artículos dice Avui que “la UE no querrá otra Noruega, otro país rico fuera de su seno” – como un especie de argumento volitivo para no salir de la UE aún saliendo de España (¿realmente creen los de Avui que Cataluña es comparable con Noruega?).

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Andrés Caicedo explica cómo demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra a punta de pura Álgebra Lineal (se basa en una prueba de Derksen de la prueba de existencia de autovectores para cualquier operador lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita – prueba que evita el Teorema Fundamental del Álgebra y que permite deducirlo). Curioso y simpático todo eso.

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Javier Moreno nos envió desde Canadá dos cosas: un delicioso tarro de jarabe de roble y una novela de Helen DeWitt (The Last Samurai). Empecé a leerla en El Ocaso esta semana. Es rara – hay momentos en que asoma una fuerte tristeza en esa madre empeñada en enseñarle mil y mil y mil cosas a su hijo. Lleno de silabarios (ひらがな y カタカナ obviamente), cosas en 日本語, mucho en griego homérico, etc. etc. etc. —- es un libro hasta ahora muy atizador de curiosidad, muy juguetón y a la vez muy melancólico. No tengo ni idea para dónde va.

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A falta de una, fuimos dos veces al puente colgante sobre el Río Apulo esta semana: la primera fue el domingo, en esa caminata fantástica hecha con un grupo muy variado y simpático, de venezolanos y colombianos; la segunda ayer por la mañana (temprano salimos hacia arriba desde El Ocaso – llegamos al puente colgante en algo menos de una hora de subida muy empinada; allá me pegué un baño muy refrescante en el Río Apulo – a Apolo lo lanzamos también a que se refrescara pues estaba acalorado, pero es muy gallina a la hora de mojarse con agua fría). Fue un fin de semana extendido de trabajo y un par de caminatas increíbles.

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Creo entender por fin una demostración de extracción de indiscernibles (bajo ω-estabilidad, obviamente) en teoría de modelos de espacios polacos – cuando las fórmulas consideradas son todas Σ^1_1 o Σ^1_2 (o κ-Suslin). El hecho de tener Δ-tipos para conjuntos Δ no cerrados bajo negación complica la vida a Shelah (y a los lectores). Las definiciones de conceptos como categoricidad, ω-estabilidad, etc. cambian de manera muy divertida e inquietante. Por ejemplo, categoricidad en λ en ese contexto significa (puesto que todo lo interesante sucede en el cardinal del continuo) que al forzar dos veces mediante forcings que primero hagan que λ se vuelva el continuo y luego preserven el cardinal de λ (aunque agreguen muchos – a lo sumo λ – reales nuevos) se tenga isomorfismo entre las dos interpretaciones de las definiciones. Todo con un sabor muy L_ω1ω como esperaría uno para espacios polacos.

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Por otro lado, ahora la cosa está en teoremas del modelo genérico para objetos como foliaciones o cocientes de gavillas (bajo acciones de SL_2(Z) y similares). Parece más difícil que para haces. Si algo así sale, se acerca mucho más al mundo de teoría de números. El seminario ha estado duro e interesante. A veces me entristece no haber aprendido más geometría diferencial en Madison – pues ayuda de verdad a la hora de hacer las generalizaciones de teoría de modelos que estamos haciendo. Zoran sí lo hizo (trabajo con Robbin y finalmente se fue a geometría no conmutativa muy categórica); fue una excelente decisión.

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Parte de mí se pone feliz con la idea de Independència de Catalunya. Parte de mí se asusta con la inestabilidad cada vez más fuerte en que parece estar entrando Europa. Como siempre, estoy dividido con respecto al tema.

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Y no, no estoy de acuerdo con el argumento escueto de Javier Moreno. En siete párrafos cortos se da el lujo de despachar un problema muy complejo, con muchas aristas, caricaturizando a todo el mundo en el camino. Aunque me parece bien que ventile el tema, creo que cae en un exceso de simplificación que sencillamente hace que se caiga muy rápido casi todo lo que dice. Es bueno que desmitifique el otro argumento escueto de financiar “porque sí”. Pero en la mitad está el mundo real – no está ni en el extremo de Javier, ni en el extremo que Javier ridiculiza. Tal vez el espacio de las columnas de El Espectador termina produciendo eso. A mí me gustaría que Javier se lanzara a escribir algo con mucha carne, muy documentado, muy argumentado – digamos una columna tipo The New York Review of Books y no unas pocas frases estilo El Espectador. Ahí sí podríamos iniciar una discusión muy fructífera y productiva.

(Recycled:) Model Theorists in Bogotá, on occasion of Xavier Caicedo’s Sixtieth Birthday (2005). You can spot here quite a few people who have been mentioned recently in this blog.

Although the photograph appeared a while ago on some blogs, I like reposting sometimes. With distance, things (and people) look a bit different…

Jogo de cintura – jugando con tres periféricos

La expresión común en Brasil jogo de cintura (que apareció en el título de una charla de Leandro Aurichi sobre principios de selección y juegos topológicos – casi sistemas dinámicos topológicos y significa algo así como “saber hacerle el quite a los problemas, no enredarse”) me gustó mucho. Ignoro de dónde viene – la gente a quien pregunté tampoco parecía saber; simplemente les parecía obvio que se usara “ter jogo de cintura” ante situaciones donde conviene no ser rígido. Aunque no es lo mismo, el cutting slack del inglés parece remotamente relacionado con la misma idea.

Ayer me tocó tener bastante jogo de cintura al intentar por primera vez usar openeya para filmar una clase de teoría de modelos que estoy dando y para la cual hubo pedido de Medellín y Pamplona. Intenté transmitir directamente, pero hubo problemas de horario. Decidí entonces filmar con openeya – algo que usan algunos colegas del Departamento de Física para filmar y colgar sus cursos de Teoría Cuántica de Campos.

Openeya está bastante bien pensado: una cámara normal lo filma a uno en resolución baja, mientras un buen micrófono va grabando. Otra cámara de alta resolución va tomando una foto del tablero cada 15 segundos (más o menos el tiempo en que puede aparecer algo relevante, tal vez) – foto que idealmente pueden ampliar los que sigan el curso y ver las cosas escritas en detalle. Los físicos llegaron a Openeya en parte gracias al Instituto de Trieste, donde parece que impulsan bastante este tipo de iniciativas.

Problemas locales:

  1. El tablero blanco es mucho más difícil de fotografiar que el tablero tradicional negro. Aquí no tenemos tableros decentes (problema de todas las universidades bogotanas) sino tableros blancos de marcador. El contraste en las fotos es mucho más bajo que con buenos tableros. Los reflejos de luz son fatales.
  2. Por alguna razón mi computador quería suplantar una de las cámaras buenas que me dieron los físicos por su camarita medio boba incorporada, menos buena. No logré dar bien con el chiste y me tocó reemplazar por un computador más pesado y viejo de los físicos.

De resto, con un poco de jogo de cintura, paciencia de mis estudiantes de Bogotá y algo de buena voluntad, arrancamos. Espero que en Medellín y Pamplona encuentren que las clases les ayudan a aprender. Todavía ando viendo si consigo mejor salón, mejores tableros, y sobre todo si aprendo a hacer esas cosas mejor.

La gran ventaja de openeya es que no depende uno de salas especiales y en principio (módulo tableros clásicos decentes) con llevar dos camaritas y un micrófono uno puede armar un muy buen simulacro de clase para transmitir. Además, openeya procesa todo y genera directamente una página web que uno cuelga y que tiene todo bien sincronizado. Las cosas que financia ese instituto de Trieste.

Ahora hay pedido para hacer lo mismo con nuestros (tres) seminarios de lógica de Bogotá. Uno de los estudiantes ahora se fue a Berlín a trabajar con Amador, pero dice que quiere poder seguir los seminarios de aquí, que están muy interesantes este semestre (estamos estudiando temas que incluyen teoría de modelos sobre haces perversos (con Gabriel Padilla y Gregorio Mijares), categorías modelo y pcf (con Andrés Ángel y Xavier Caicedo), dicotomías conjuntísticas en teoría de modelos, métodos de subestructuras elementales en topología (Ramiro de la Vega), clases de Fraïssé categóricas y teoría de Ramsey (con Gregorio Mijares, Carlos Di Prisco, Gabriel Padilla), etc. etc. Es un semestre de seminarios agradables, activos, llenos de preguntas y pequeños descubrimientos.

Hasta ahora solo uno de esos seminarios se está transmitiendo (el de Andrés Ángel) pero con cámara tradicional, sin openeya. Si aprendo a usar bien openeya, creo que les diré que traten de adoptarlo.

lecturas, montañas, mar (tangencial)

Este septiembre ha sido un mes de encuentros y reencuentros – lecturas, montañas, mar (tangencial).

  1. Caracas con Carlos y su familia es un lugar encantador. La vista al Ávila desde esa cocina, las botellas, la luz. El queso telita, el casabe, los cuba-libres, el gin-tonic, el sashimi de atún. La pasta preparada con un cariño y un cuidado ejemplares – las historias de inmigrantes de pueblos perdidos del sur de Italia en pueblos perdidos de los Andes merideños, o una abuela de Chía, incluso. Caracas de conversación, de ir y venir entre clases de Ramsey, modelos de Solovay, el mercado de Chacao, el Café Arábica, los andenes (¡aceras!) remozados de Sabanagrande, la Academia de Ciencias, el IVIC perdido en los Altos de Pipe, casi mil metros arriba de la ciudad, con sus bosques de eucaliptos, su biblioteca envidiable. Caracas y la suavidad del hablar de los colegas, de ese mundo italiano de segunda o tercera generación que encuentra uno en medio de esas montañas. Ah – el Ávila. El norte de Caracas es el Ávila – o más precisamente, la cordillera costera con el Ávila, la Silla de Caracas aún más alta, el Naiguatá aún más alto. Montes de 2500 m al lado de la ciudad a 900 m – con el Caribe ahí atrás. Con la Cota Mil (1000 msnm) respetada y sin construcciones más arriba de los mil metros. La presencia del Ávila en Caracas para mí era reto diario, inspiración constante. Todo el tiempo pensaba en los cerros bogotanos, pero no – hay una diferencia de dimensión (relativa) brutal. Los cerros caraqueños – que la delimitan por el norte – son en promedio tres veces más altos que los cerros bogotanos, con respecto a la ciudad.
  2. Empanadas de cazón entre mil sabores más. Saben muy bien esas empanadas del mercado. Maíz frito y un relleno de guisado de cazón (tiburón pequeño) son tal vez las más ricas que probé. Grandes, con sabor a maíz pilao, con el relleno humeante de cazón (preparado con tomate, pimentón, cebolla). Con el queso telita y el casabe, sabores buenísimos que probé en Venezuela. Una noche fuimos al restaurante Palms, de la chef Helena Ibarra. Allá fueron platos mucho más elaborados – muchos basados en recetas de inspiración local de Venezuela, muchos muy buenos.
  3. Montañas y páramos andinos. Lo primero que hice el domingo en Mérida fue arrancar para el páramo a caminar. A encontrar cosas similares (pero distintas), muy similares (pero un poco distintas) de nuestros páramos aquí arriba, de nuestro Suesca y nuestro Chingaza. ¿Para qué me fui a buscar cosas similares en otro país? No sabría decir. Me sentía increíblemente bien allá arriba, en el Páramo de la Culata, metiéndose por uno de los valles de los Andes merideños, encontrando gente chapeada – con pómulos rojos del frío – recogiendo papas criollas, vendiendo pasteles de trucha, en casitas rosado Mérida (una variante del rosado Soacha), entre montañas esas sí distintas en su parte más alta (más afiladas, más “alpinas” tal vez allá en Mérida – tal vez parecidas al Cocuy – con sus cumbres nevadas a 5000 m, justo encima de uno). Necesitaba la caminata medio rápida, el sudar un poco y oler frailejones y la tierra andina de los tres mil y pico metros, el ver los aguiluchos y los chulos (zamuros allá).
  4. No encontré chavistas. Aunque preguntaba (sin mucha esperanza) en los taxis o a la poca gente no académica a ver si alguien salía a decir algo en defensa de Chávez, nadie, nadie salió hablando bien de ese personaje, nadie salió a decir nada que me obligara a mantenerme en calma espera. Los académicos, naturalmente, hacen oposición, y señalan la combinación brutal de ineptitud del actual gobierno – incluso si uno quisiera estar de acuerdo con alguna reforma, la manera tan increíblemente inepta e ignorante con que parecen hacer las cosas simplemente da al traste con todo – y corrupción – toda la plata inmensa se la están robando, se la siguen robando. Con múltiples ejemplos concretos sumamente articulados, ilustraban la letal combinación de esos dos males: ineptitud y corrupción (yo en muchos casos pensaba que en realidad parecían estar hablando de Colombia – mutatis mutandi la raíz de los males es similar, aunque la expresión de éstos sea distinta). Los taxistas, tal vez menos articulados pero más coloridos, simplemente decían indignados que “el país siempre ha sido de los mismos, incluso ahora, y la plata toda se la roban”. Hubo un par de excepciones: en la caminata por el Páramo, me puse a hablar con unos guías, y un amigo de éllos venido de Ciudad Bolívar, la entrada de la Gran Sabana. El amigo de los guías, un muchacho alegre y simpático, decía haber ido recientemente a Cuba y a la feria de Cali (?!?!?) con grupos que envía el gobierno, compuestos por jóvenes familiares de oficiales de ChávezContaba con perfecto desparpajo cómo los envían con gastos pagos a sitios de vacaciones en Cuba o en Colombia o dentro de la misma Venezuela. Al hablar, exhibía una sonrisa feliz, de gente que está en la cumbre de algo, la despreocupación de quienes no requieren angustiarse. Por su dicción, creo que no tuvo una educación básica buena – pero probablemente tampoco tan mala. Cuando le pregunté en concreto qué pensaba del actual gobierno, del futuro de Venezuela, se puso un poco más serio. Me dijo que realmente no pensaba que el país estuviera yendo para ninguna parte, que él veía todo muy mal administrado. Quedé perplejo. No esperaba esa respuesta de alguien que viaja con gastos pagados (mientras la situación económica de tanta gente en las universidades es tan desesperada). Tal vez desencanto es una palabra que resume lo que se siente en Venezuela, entre gente que de pronto hace unos años creía genuinamente que el país iba a cambiar para bien. Y claro, escepticismo enorme y lleno de datos concretos por parte de gente más cuidadosamente educada, más acostumbrada a desconfiar de esos mesías.
  5. La tricotomía de Zilber fue el tema de mi curso. Con veinte horas de clase, es realmente bastante lo que se puede hacer. Me advirtió Carlos que era mejor iniciar sin suponer que la gente supiera teoría de modelos, pero sabiendo que algunos estudiantes muy buenos tomarían el curso. Además los muy buenos saben bastante teoría de conjuntos (y algunos tenían buena geometría algebraica básica) – decidí seguir el reto e iniciar “casi desde cero” modelo-teóricamente hablando, pero ir a buen ritmo. Resultó muy divertido para mí (y espero que para éllos) el minicurso planteado así. Varios estudiantes llegaban con buenas preguntas cada día. Fue una experiencia muy intensa, pero muy gratificante para mí. Enseñar cuatro horas de teoría de modelos, durante cinco días seguidos, no es algo muy trivial. De noche, en las pequeñas horas de la madrugada, me despertaba en el hotel de Mérida pensando algún ejemplo que haría, algo que usaría de la víspera para enganchar temas, algo que sabía en ese momento (antes del amanecer, no antes) que los estudiantes apreciarían y les ayudaría a entender mejor el teorema de Morley, mejor Omisión de Tipos, mejor bifurcación, mejor tricotomía, mejor modelos de Zilber. Pensaba y pensaba – mientras hablaba en las cenas con los colegas de Chile, de Venezuela – mientras cuadrábamos detalles del SLALM en Bogotá, de futuros encuentros en Bogotá o Mérida o Pamplona o… El sábado al amanecer me sorprendí despertándome asustado porque no tenía claro cómo seguir. Claro, al momento recordé que ya había terminado el curso. Después de las horas y horas, sentí que se había pasado en un abrir y cerrar de ojos ese curso, y de hecho me hizo falta el seguir.
  6. La nieve de los Andes estuvo ahí todo el tiempo – el viernes mucha más después del aguacero del jueves sobre Mérida. El bus que nos recogía por la mañana fría subía raudo, atravesaba el Parque Milla (lugar que me hacía sentir en 1991, cuando estuvimos en un hotelito ahí con María Clara – recién habíamos empezado nuestra vida juntos), y enfilaba hacia la ULA, siempre con esos picos nevados ahí al lado derecho. Yo siento que durante esos cinco días volaba todo el tiempo, como algún cóndor perdido allá arriba dando vueltas, como algún aguilucho tal vez más bien. Volaba entre la tricotomía, el curso, el revivir 1991 con intensidad suprema, el hablar con los estudiantes y colegas – los dos Carlos fueron esta vez alumnos míos – yo fui alumno de ambos hace veinte años. Como no había tiempo para descansar (además asistí a buena parte de otro curso de veinte horas, de sistemas dinámicos topológicos – un tema super interesante y lleno de fenómenos de Ramsey) ni para pensar, quedé suspendido en una semi-vigilia que de noche se concretaba en mi pensar, acariciar, incubar los ejemplos del día siguiente – de manera semi-inconsciente, como a la altura de la nieve andina.
  7. Claudio Magris sigue ahí de lectura de cabecera, desde Mérida. Allá fue Otro mar, ahora es Danubio. Entre Trieste, la Patagonia, Ulm y Belgrado.
  8. Bogotá con los visitantes de Ecos-NORD, las charlas de Melleray, el encuentro con Mijares y Padilla, las pseudo-ortogonalidades abstractas, las clases de Fraïssé categóricas, las sutilezas que señala Melleray en las preguntas sobre esqueletos combinatorios en las construcciones topológicas, la química y el mundo.

Demasiados encuentros en este septiembre, tal vez.