días

Larguísimos. De trabajo – salgo temprano antes del calor fuerte (o sea, antes de las ocho) para ir caminando a través de los dos valles – entre Rejavia y el Museo y luego entre el Museo y la Universidad. Si se me hace tarde ya mejor ir en bus. Y luego considerar mil variantes de la discusión de día anterior, escribir, volver a discutir, ir a charlas. Jerusalén.

A la vuelta (cuando aún hay sol pero la temperatura ya ha bajado) de nuevo caminata (o bus, dependiendo de si hay que llegar rápido). Es dulcísima la temperatura a esa hora. Hoy estaban en el estadio de la Universidad en la XX Macabíada – la Olimpíada judía. Los atletas de muchos países – muchos de ellos también olímpicos – calentando, entrenando, haciendo sprints. Y el altavoz mencionando nombres de atletas de Argentina, Israel, Francia, Estados Unidos, Australia, Turquía, Reino Unido, México, Canadá, Uruguay. No escuché que nombraran a Colombia. El espacio es completamente abierto desde la calle y puede uno ver los grupos de corredores, de saltarines. Una mujer lanzadora de bala, otro grupo de corredores de cien metros. Ver de cerca a atletas olímpicos (bueno, macábicos, pero algunos han sido olímpicos también) siempre es algo muy especial. Supongo que es a nivel del ejercicio el equivalente a ver grandes intérpretes de violín o de piano – o tal vez grandes matemáticos. Como casi nunca ve uno esos cuerpos entrenando, me quedé un par de minutos… y recordé cuando nos llevaron a los de Judo UN a entrenar con los del equipo olímpico cubano en la Liga de Judo de Bogotá. Fue sobre todo a verlos entrenar (de nuevo: algo increíble y muy único) pero en ese caso también hubo unos tres o cuatro randoris “mixtos” entre nosotros y los olímpicos. Recuerdo el susto. Una cubana gigante me calmó – el nivel alto logra infundir una calma en medio del nerviosismo que el nivel medio no consigue. El randori era sobre todo para aprender un poco por contacto breve con los grandes.

Luego, Tmol Shilshom con María Clara, uno de nuestros cafés preferidos del mundo. Y la caminata de vuelta entre mil callejuelas, gatos, olor a flores, jardines.


Como hay tanta cosa durante el día (y es tan intenso todo aquí) prefiero leer un poco de Proust – avanzar un par de páginas – por la noche.

Esta vez es Proust de joven preocupado por no poder atrapar las cosas, no poder lograr nunca su sueño de escribir bien. Recuerda cómo je m’attachais à me rappeler exactement la ligne du toit, la nuance de la pierre qui, sans que je pusse comprendre pourquoi, m’avaient semblé pleines, prêtes à s’entrouvrir, à me livrer ce dont elles n’étaient qu’un couvercle… se preocupaba porque no lograba eso, porque todo le era esquivo, porque en el momento de atrapar el “secreto” de la piedra, de la línea del techo, se le iba. Alors je ne m’occupais plus de cette chose inconnue qui s’enveloppait d’une forme ou d’un parfum, bien tranquille puisque je la ramenais à la maison, protégée par le revêtement d’images sous lesquelles je la trouverais vivante, comme les poissons que les jours où on m’avait laissé aller à la pêche, je rapportais dans mon panier couverts par une couche d’herbe qui préservait leur fraîcheur. La imagen me gusta: traía la cosa desconocida recubierta de imágenes bajo las cuales la encontraría viva, como los peces que los días en que lo dejaban ir a pescar traía en su canasto cubiertos de hierbas para mantener su frescura.

Solo que la mayoría de las veces debajo del recubrimiento de imágenes no había “nada”. Tal vez Proust de joven creía demasiado en que había un algo, una cosa desconocida, cette chose inconnue qui s’enveloppait d’une forme ou d’un parfum, y creía que las imágenes estaban ahí para proteger la cosa. De pronto le faltaba descubrir que la cosa muchas veces es sus imágenes.

 

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Project Topoi, inauguración ayer.

Fue un evento bellísimo. Yo estaba (estoy) desde antier con una gripa muy fuerte, y eso me hizo vivir todo a un ritmo un poco más estático que el usual. Aún así, me impresionó la calidad de las preguntas de algunas personas que se tomaron el trabajo de ver los videos (dos o tres veces), de preguntar por el cómo, el por qué de los diálogos, de la conversación entre dos matemáticos y dos artistas. Miraron muchas fotos impresas del proyecto, y empezaron a hilar varios de los topoi ahí presentes.

Mucho más sólido que lo de hace dos años (cuando iniciamos tímidamente la primera presentación), esta vez el evento generó respuestas mucho más interesantes también. Mucha gente de la región (esta parte de los Catskills tiene mucha gente de Nueva York, de Brooklyn, artistas, filósofos, gente que trabaja en video, etc., que a partir de cierto momento empieza a vivir parte del tiempo aquí… también está llegando gente joven de Brooklyn, en parte por los precios impagables de estudios allá) vino ayer por la tarde. Creo que la posibilidad (difícil) de conversación entre dos matemáticos y dos artistas llama la atención.

 

Otro punto interesante que de alguna manera ya nos había señalado Fernando Zalamea lo expresó un arquitecto ayer con palabras muy bellas: el video conjunto sirve de síntesis del proyecto, trae un cierre y a la vez abre muchas posibilidades nuevas. Ver las fotos (y seguir la conversación sobre los topoi ahí) es aparentemente más difícil. El video a la vez facilita la lectura y trae muchas preguntas nuevas.

En el fondo, aunque hasta ahora queríamos mantener lo verbal al mínimo (para dejar crecer la obra sin asfixiarla – es importante no sobreexplicar las cosas en ciertas circunstancias), hay un trasfondo fenomenológico fuerte en todo esto – cercano a Todes y a Merleau-Ponty, tal vez un poco también a cierto Husserl posterior a Ideas. Pero mejor (por ahora) no sobre-explicar esas cosas. El proyecto aún tiene bastante por crecer…

Eutifrón, en un evento en honor a Magidor

Hace pocos días en Jerusalén tuvo lugar el evento Menachem Magidor 70th Birthday Conference.

Juliette Kennedy dio una conferencia en ese evento, con título The Philosopher’s Second Sailing, or: Reading Gödel on the Euthyphro.

El ensayo de Kennedy para el evento de Magidor es sumamente interesante. Espero que pronto se convierta en un artículo. El tema está bien descrito en el título: el segundo zarpar del filósofo fue un tema que a Husserl le llamó la atención, pues en 1909 él mismo tuvo una crisis vital que lo obligó a cambiar de rumbo fuertemente a nivel filosófico. Kennedy parte de las conversaciones que sostuvieron Gödel (en los años finales de su vida) y Sue Toledo.

Algunos de los temas que aparecen desarrollados en el artículo de Kennedy:

  • la crisis de 1909 en Husserl; parece que el tema obsesionaba a Gödel
  • finitismo, intuicionismo, y el Eutifrón – el diálogo platónico sobre lo sagrado
  • a Gödel parecía interesarle más el Husserl post-1909 que el anterior (por ejemplo, el de las Investigaciones Lógicas de 1904) – a Gödel parecía atraerlo mucho más la visión fenomenológica que desarrolló Husserl a partir de esa fecha
  • el ego fenomenológico que no es algo separado de sus experiencias; es simplemente idéntico a la unidad interconectada de éstas
  • es también la época en que emerge de manera más contundente el concepto de epojé (Einklammerung, bracketing, poner entre paréntesis) y su rol en la fenomenología – y el rol del sujeto como parte activa del problema de la existencia de objetos matemáticos – la raíz de ἐποχή parece ser la misma de “mantener a raya” o “mantener en suspenso” – como condicionar un pago o trancar físicamente a alguien…
  • en su segundo zarpar en 1909, Husserl parece obscurecer intencionalmente su lenguaje – un poco como si quisiera obligar al lector a ir muy despacio, como si dar demasiada claridad permita que el lector “se salte” puntos claves – ¿giro de lo exotérico a lo esotérico en Husserl? Aparentemente a Gödel le interesaba mucho este punto del lenguaje que cambia y que se obscurece, claramente de manera intencional. Hay un punto en común muy interesante ahí con el lenguaje de los místicos y su oscuridad. Un poco inverso a lo que en general buscamos viniendo de la matemática – venimos de un lenguaje que es oscuro para casi todo el mundo y sufrimos las consecuencias de eso; en Husserl como en ciertos místicos (y seguramente en Gödel tardío) parece haber un valor especial en lo oscuro, en lo oculto…
  • el diálogo Eutifrón es una de esas búsquedas infructuosas en torno al concepto de lo sagrado, lo sacro – iniciado por el encuentro de Sócrates con Eutifrón en las cortes atenienses; Sócrates está siendo juzgado por impiedad y corrupción de menores, Eutifrón demandó a su padre por asesinato de uno de sus criados; el padre de Eutifrón había apresado al criado y lo había dejado morir en una zanja después de que el criado a su vez había matado, borracho, a otro criado…  dadas las leyes atenienses, la demanda de un hijo contra su padre era improcedente (a menos que hubiera matado a algún familiar, pero ciertamente no si había matado a un criado) y se rumoraba en Atenas que Eutifrón era impío (no sé si otra palabra describa/traduzca mejor el atributo) por haber denunciado a su padre, sobre todo cuando el que este había matado “ni siquiera era de la familia”…
  • como las acusaciones contra Sócrates y contra Eutifrón eran similares, Sócrates decide explorar lo sacro, lo sagrado, aprovechando la experiencia de alguien que ya pasó por pensar en esos temas, en los estrados – después de cinco definiciones fallidas, el tema sigue abierto
  • aparentemente Gödel trataba de entender el porqué de la debilidad de Eutifrón en sus argumentos, el porqué de la cobardía de Eutifrón (sale corriendo al no encontrar solución): a Gödel parecía preocuparle la cobardía de refugiarse en leyes y no encarar las consecuencias de sus propios razonamientos – Eutifrón usa “religión racional” al acusar a su padre pero no entiende las consecuencias de lo que está haciendo

El artículo explora más a fondo las preocupaciones de Gödel en esas conversaciones al final de su vida con el tema de la honestidad intelectual. Kennedy adicionalmente lleva el problema al entender fenomenológicamente el tipo de objetos de la teoría de conjuntos (Kennedy, Magidor y Väänänen tienen además un proyecto de definibilidad intermedia entre primer y segundo orden, algo que en un extremo daría el universo conjuntístico construible de Gödel, L, y en otro extremo daría HOD, pero hilando fino con diversas definibilidades resultan obteniendo otras nociones intermedias, algunas muy robustas a forcing y con conexiones sorprendentes con grandes cardinales).

 

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Menachem Magidor en el Instituto Mittag-Leffler, 2009. [Foto: AV]

[Nota Bene: Para muchas personas, un hombre tan multifacético como Magidor no necesita presentación, pero vale la pena recordar brevemente aquí que, además de ser uno de los especialistas más sofisticados en teoría de conjuntos (trabajos importantes desde la década de 1970 hasta el presente) a nivel mundial, Magidor ha sido rector de la Universidad Hebrea de Jerusalén (entre 1997 y 2009), dirigido tesis doctorales en varios temas (además de matemática, en filosofía y en computación), y según entiendo tiene trabajos incluso con equipos de arqueología de Israel.

Mi recuerdo de él cuando estuve en Jerusalén es tenue, pues él estaba en sabático fuera del país durante mis primeros meses allá, y cuando llegó era el decano de Ciencias y luego el rector.  Pero sí recuerdo vívidamente que aún siendo rector iba al café Beit Belgia en el campus los viernes por la mañana (en Israel, los viernes son como nuestros sábados, pues la semana laboral es de domingo a jueves y a veces el viernes por la mañana), donde paraban muchos de los estudiantes de doctorado en matemáticas y trabajaba con algunos de ellos, siendo rector. Era un rector profundamente comprometido con los temas académicos.

Su trabajo en teoría de conjuntos tiene contribuciones cruciales como sus trabajos ya clásicos en cardinales fuertemente compactos, en axiomas de forcing (Martin’s Maximum, variantes más fuertes), en toda clase de variantes de definibilidad en lógicas intermedias entre primer y segundo orden, en cuantificadores generalizados, en forcing semipropio, en propiedades de compacidad generalizadas, etc.]

Manin, sobre el conocer matemático

Notas tomadas al vuelo durante lectura del ensayo de Manin Mathematical Knowledge: Internal, Social and Cultural Aspects.

(Me prestaron el libro de ensayos Mathematics as Metaphor de Manin – que mis colegas Alex y Sharon (él lógico, ella topóloga algebraica) tenían por ahí en la sala de su casa. Ha sido lectura complementaria interesante en esta visita de conversaciones mezcladas con caminatas, en el mejor estilo ruso; aunque dan ganas de escribir ensayo/respuesta a Manin – no tanto reseña, pues este libro debe haber sido reseñado mil y una veces, por ahora me limito a lectura.)

  • No sé cómo traducir trickster. Pero parece ser uno de los temas claves en el análisis lingüístico de Manin. No lingüística comparativa: a Manin le interesa entender el surgimiento del lenguaje mucho antes de lo accesible a la lingüística usual (y defiende su propio diletantismo en el asunto – como algo muy moscovita de los años 80 y como la garantía de originalidad). Parole previa a langage. Y el rol de los tricksters, de los dueños de trucos mágicos como iniciadores del lenguaje. Él menciona a Dante y Shakespeare en ese rol compartido con los antiquísimos chamanes. Yo agregaría a Grothendieck y aún más profundamente a Shelah. Pero aún así es tan increíblemente especulativo ese capítulo de Manin que asusta un poco. Aparentemente en su seminario moscovita participaban psicólogos, lingüistas, matemáticos, físicos. Deben haberlo obligado a afinar bien su teoría.
  • Hoy en mi charla un especialista en teoría de números coreano se interesó por maneras de hacer cálculos de series de Eisenstein usando análisis no estándar (parte de nuestro tema). Hizo preguntas muy agudas, pero me hizo ver que vamos por buen camino. De los lógicos casi no he obtenido gran inspiración en esos temas – no esperaba recibir preguntas hoy de alguien que de verdad hace cuentas de teoría de números, y que encontró natural el uso de tantos ultraproductos asociados a hiperfinitos.
  • Arranca luego Manin a hablar del rol de la lógica como “lingüística” de la matemática – cita la famosa frase de Atiyah “The three great branches of mathematics are, in historical order, Geometry, Algebra and Analysis. Geometry we owe essentially to the Greek civilization, Algebra is of Indo-Arab origin and Analysis (or the Calculus) was the creation of Newton and Leibniz…” Y luego explica que en física las tres ramas corresponden respectivamente al estudio del Espacio/Tiempo/Continuo. Y luego arranca una discusión con esa frase de Atiyah. Básicamente Manin está de acuerdo con que Geometría es Espacio en sentido extendido, pero que Álgebra sea Tiempo es más problemático. Entra a la pelea de palabras versus fórmulas como algo históricamente importante, y aterriza (obviamente) en la Lógica, para la cual Manin (¡un geómetra!) pide campo ahí al lado de las tres grandes ramas. O como parte del Álgebra – para que (dice Manin) ahí sí sea verdad lo del tiempo. Pero el aterrizaje decepciona un poco: le asigna ese rol de “álgebra=lógica=tiempo” a los trabajos de Turing en computación. Y claro, la algorítmica es temporal. Pero de Manin (del autor de Methods of Homological Algebra, nada menos) se podría esperar que supiera del rol temporal mucho más profundo que tiene la lógica en haces y en categorías.
  • Yo en realidad no creo que el Álgebra sea lo temporal. El álgebra es la simetría brutal de la geometría: se mide con grupos, con acciones, con grupoides de enlace, con teoría de Galois, con reciprocidad de Gauß y con el programa de Langlands. Con teoría de modelos. Claro – lo temporal regresa al considerar que en realidad todos esos objetos actúan (casi siempre – a veces pseudo-actúan) sobre “objetos” geométricos. Claro, muchas veces (pace Manin mismo) actúan sin que se sepa sobre qué lo hacen pero igual actúan. Y la lógica permite recuperar trazas de esas acciones. Una de las creaciones más singulares de la lógica, las clases elementales abstractas, son la teoría de las trazas de lógicas fuertes en un mundo donde desapareció el aparato de medirlas, de detectarlas. Pero eso no quiere decir que no estén ahí – al igual que la cantidad de trazas de nuestro pasado geológico, paleontológico, lingüístico, que están ahí cada vez que subimos a alguna loma, cada vez que vemos un fósil, cada vez que entramos a un lugar construido sobre otro (aún no lo sepamos), cada vez que hablamos. Las clases elementales abstractas de Shelah son la lógica del sustrato que permanece cuando no se cuenta con la seguridad de las bellas y viejas fórmulas.
  • Se va luego Manin a los objetos matemáticos. Esos que Rota dice “no importan”, pues lo que importa es solamente su invarianza bajo acciones, bajo presentaciones, bajo cambios. Leer a Rota cuando aún no había nacido (o sea, antes del doctorado) me marcó fuertemente. Sospecho (gracias a Rota) de cualquier mención de “objetos matemáticos”. Él hace un argumento delicado y técnico usando fenomenología (que es como una matemática de la filosofía – interna como debe ser y a la vez autorreflexiva) para mostrar por qué la noción de objeto matemático no tiene sentido, es una no-noción. [Alguna vez con Alejandro Martín y alguna vez con Mark Ettinger rehicimos todo el camino del argumento (elegante y contundente).] Pero eso no necesariamente invalida la pregunta de Manin: What are we studying when we study mathematics? Trata de responder que son ideas que se dejan manipular como si fueran cosas reales. Aunque es un poco vago, da dos propiedades cruciales: la invarianza (de nuevo, como Rota) bajo cambio de contexto, y el potencial de hacer conexiones con otras ideas matemáticas: la capacidad de formar complejos – como si fueran bloques simpliciales. Y da ejemplos bellos de visualización cultural: en los naturales, señala el rol problemático del dos (Nirvana = nir-dva-n-dva, dva = dos y Nirvana es la “cancelación” del dos, la unidad – dubius es duda es doble, Zweifel es dos es duda). Más ejemplos se van a reales, álgebra geométrica, e^{\pi i}=-1, los conjuntos de Cantor [Unter einen ‘Menge’ verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder unseres Denkens (welche die ‘Elemente’ von M gennant werden) zu einem Ganzen.]. ¿Qué tipo de objetos son todos esos… ?!?
  • Pero aunque es bonita la conexión lingüística con el sánscrito y siempre impresiona releer a Cantor (más en alemán que en español o en inglés), se va un poco por las ramas Manin y no tiene la elegancia del argumento filosófico puro y duro de la fenomenología. Sigo dudando seriamente de los objetos matemáticos. Reemplazaría los objetos como punto de partida por fenómenos. Así como para Manin son tan importantes las ideas, creo que uno podría arrancar con fenómenos primordiales como punto de partida – y obviamente de regreso frecuente: el fenómeno de la incompletitud (título de un libro de lógica) viene a la mente, pero muchos otros más: el fenómeno de la compacidad (que tantas cosas ilumina en lógica, a veces con luz excesiva), el fenómeno de la continuidad, de la analiticidad (en boca de Zilber es casi el mismo que el fenómeno de la categoricidad no numerable), el fenómeno de la ergodicidad, el de la superestabilidad, el de la reflectividad. Podría ser un punto de partida mejor para las visiones que propone (de manera tan bella y tan efectiva) Manin.
  • Manin arranca todo peleando con Mallarmé: tout existe pour aboutir à un livre decía el poeta – Manin responde “sí pero no” – cierto de mucha matemática que en el fondo es lingüística-lógica-palabras, pero en un sentido más profundo no: son ideas, construcciones, intuiciones. Y se atreve a decir Manin, de pronto en poesía también, pese a Mallarmé. En esto sí coincido fuertemente con Manin. Mallarmé es la etapa I, revolucionaria e importantísima, pero existe una etapa II (y de pronto una III, etc.).

*Feeling* a proof

Jan Zwicky’s Plato as Artist is a reading of Plato’s Meno dialogue where the focus is redirected to the how it is written. She tries to guide us through the pauses and hesitations of Socrates or Meno, to the constant game of expectations, delusions, false starts, incredibly subtle ways of implying raised eyebrows (Socrates), being pissed at not being able to use an answer that has worked before (Meno), and many other little steps. Zwicky is serious about the linguistics, as far as I can judge – for complicated turns of phrases she gives as the Greek original in the margin and sometimes two alternate translations. But her focus is not in the (potentially infinite) linguistic traps or magic in the text. She leaves that to others. Her reading is rather musical – it reminds me of the way two or more musicians read a score, annotating passages on top of the Urtext (faster here! reduce! stop short! pianissimo! with sorrow!), slowly creating a reading of a work that is rendered in ways that must be the way the musicians want.

The problem is the old problem: can one teach virtue? can one teach at all, anything? The dialogue unfolds slowly, with Meno, Socrates, the slave boy who learns (does he?) to “see”, to understand that the square of the diagonal doubles the original square – with Meno originally proud (of wealth and looks, both crucial in Athenian society of the time), Socrates half-teasing him and leaving ambiguity about possible sexual attraction as a lingering question during one of the toughest moments of extraction of some wisdom from vain Meno, of destroying his too-self-conscious conventionality of views.

Here is Zwicky, about proofs, about feeling them:

… And as Socrates leads him towards the solution, drawing the double-sized square at 85a, the slave at first does not understand; but as Socrates talks him through, he gets it. And this is the crucial thing. He grasps that the square of the right area is based on the diagonal, he sees it, pointing to it and exclaiming “Most certainly, Socrates!” when Socrates spells out what his gesture commits him to.

In a sense, it doesn’t matter that the slave sees it; what matters is that we do. Repeatedly, when I have taught this passage, someone gasps or even cries out. The impact of the proof is unquestionable. We see that it has to be so – that it is not a matter of convention, or custom, or even an empirical fact. It is seeing this – that it has to be so – that is at the heart of the passage, and the dialogue, and, I believe, Plato’s lifework. The slave has not merely received and memorized the information that the square double in size is built on the diagonal: he has – at least for the moment – understood it. And this is deeply mysterious.

It is so mysterious that to this day there is no universally accepted account of what constitutes a proof. Yet, not only do we know one when we see one, we can distinguish better and worse. When I reflect on my own experience, it is clear that the perception of necessary truth involves a kind of intellectual phenomenology – that necessary truth has a distinct feel, especially when it is given elegant and economical expression. This is what prompts the gasps, or the involuntary raised eyebrows, in the classroom. It is what comforted Arthur Koestler in his Spanish prison. It is why allusions to geometry and geometrical concepts abound in Plato’s work.

For it is the feeling for necessary truth that was, I believe, the litmus of philosophical talent for Plato. …