una década después

Esta vez me gustó mucho más Leeds que hace diez años. Estuve durante una semana agotadora pero hermosísima en un congreso de Categorías Accesibles y Conexiones (http://www1.maths.leeds.ac.uk/~pmtadb/AccessibleCategories2018/Schedule.html) con teoría de conjuntos, teoría de modelos y teoría de homotopía.

Y hubo de todos esos temas, bastante.

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Lo mejor fue la calidad de la interacción – gente como Tibor Beke (con un pie sólidamente en las categorías accesibles pero con excelente intuición y bastante formación tanto en grandes cardinales como en algo de estabilidad) hace que ir a esas charlas sea un placer por las preguntas y los comentarios finales – gente como Menachem Magidor le da una altura y visión a esas interacciones que realmente rara vez se vive.

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Para mí fue una manera de forzarme a pensar de nuevo en interpretación en teoría de modelos – un tema que considero muy importante (la tesis de mi estudiante Johan García sobre trabajos previos de Hrushovski y Kamensky, y los trabajos de algunos ahora me llevaron por ese camino) – con Zaniar Ghadernezhad logramos seguir un poco adelante en trabajos que iniciamos hace unos tres o cuatro años y que tenía medio abandonados/pospuestos.


¿Pero por qué me gustó tanto Leeds esta vez, comparando con la anterior hace diez años?

Tal vez las razones son más internas que externas. La ciudad ciertamente parece estar más afianzada en su espíritu post-industrial. Como buena ciudad inglesa, está excesivamente comercializada, la comida es relativamente poco imaginativa pero hay cosas buenas de India y ahora de China – aunque tampoco nada del otro mundo – y ocasionalmente un muy buen fish and chips. No es nada de eso.

Es más la presencia de tanta gente con tantas pintas de tantos lugares, y el no sentir tanta presión por que sean muy ingleses, ni muy nada todos. Francia (por contraste) siempre vive como obsesionada por decir que todo lo que les conviene es “francés” y (como pasó esta semana en esa carta absurda de un embajador a un comediante, a Trevor Noah) sigue armando debates patafísicos donde no los hay. En Leeds simplemente parecía haber ausencia de tanta bobada, y simplemente gente de decenas de orígenes ahí trabajando medio tranquilamente – me pareció.


Visualmente hay cosas tremendamente llamativas en Leeds (y también en Manchester). Pongo algo de eso a continuación. Es una profusión de espacios post-industriales, de canales, de antiguas fábricas reconvertidas, de máquinas decimonónicas que parecen flores y espigas, monstruos de manga y plantas carnívoras, de espacios comerciales que parecen un huevo por dentro – o evocan simultáneamente el Coliseo de Roma y el Panteón. Gente en un tren nocturno atestado (gente esa sí toda muy blanca y con decoraciones rosadas) saliendo de un concierto de una banda de mujeres jóvenes.

Y también una ausencia de foto (por razones de seguridad personal).

 

fotos dañadas de temas queridos

 

Proust discurre sobre el tema de la dificultad gigantesca que hay de fijar la imagen de un ser querido – básicamente dice que solo fijamos imágenes de seres que no queremos, pues los seres que queremos están demasiado vivos para que podamos de verdad fijarlos – compara con fotos dañadas nuestros intentos de describir en el recuerdo a los seres que queremos. El protagonista, el adolescente, está enamorado de Gilberte y no logra recordarla – ella salió de vacaciones de invierno, y al volver él a los Campos Elíseos donde se encontraban siempre no está ella – y le desespera no poder verla en su imaginación.

A mí me ha pasado – curiosamente me pasaba cuando tomé Teoría Avanzada de Conjuntos por allá en tercer semestre de la carrera (el primer curso en que me encontré con modelos de la teoría de conjuntos, cardinales y ordinales, cardinales medibles y fuertemente compactos, la paradoja de Banach-Tarski, muchas otras cosas que vistas por primera vez daban vértigo y felicidad). No lograba recordar la cara del profesor al pensar en el tablero. Recordaba el movimiento en el tablero, a las siete de la mañana, recordaba el frío, la letra, los conceptos. Pero si intentaba recordar su cara, no lo lograba. Pasó así tal vez medio semestre. No podía recordar la cara de un profesor que marcaría de manera muy profunda mi vida de ahí en adelante.

Ah sí, el fragmento:

(Gilberte cependant ne revenait toujours pas aux Champs-Élysées. Et pourtant j’aurais eu besoin de la voir, car je ne me rappelais même pas sa figure. La manière chercheuse, anxieuse, exigeante que nous avons de regarder la personne que nous aimons, notre attente de la parole qui nous donnera ou nous ôtera l’espoir d’un rendez-vous pour le lendemain, et, jusqu’à ce que cette parole soit dite, notre imagination alternative, sinon simultanée, de la joie et du désespoir, tout cela rend notre attention en face de l’être aimé trop tremblante pour qu’elle puisse obtenir de lui une image bien nette. Peut-être aussi cette activité de tous les gens à la fois et qui essaye de connaître avec les regards seuls ce qui est au-delà d’eux, est-elle trop indulgente aux mille formes, à toutes les saveurs, aux mouvements de la personne vivante que d’habitude, quand nous n’aimons pas, nous immobilisons. Le modèle chéri, au contraire, bouge ; on n’en a jamais que des photographies manquées. Je ne savais vraiment plus comment étaient faits les traits de Gilberte sauf dans les moments divins où elle les dépliait pour moi : je ne me rappelais que son sourire. Et ne pouvant revoir ce visage bien-aimé, quelque effort que je fisse pour m’en souvenir, je m’irritais de trouver, dessinés dans ma mémoire avec une exactitude définitive, les visages inutiles et frappants de l’homme des chevaux de bois et de la marchande de sucre d’orge … — Proust, À l’ombre des jeunes filles en fleur, I –  p. 481 en Pléiade I).

gaps – subir regulariza / gelato en Bogotá

En la última sesión de su minicurso hoy Miguel Moreno demostró que en cardinales no contables \kappa=\kappa^{<\kappa} la relación de equivalencia de isomorfismo-T \approx_T de estructuras de tamaño \kappa (una relación de equivalencia en el espacio de Borel generalizado \kappa^{\kappa}) es continuamente reducible a \approx_{T'} cuando T es “menos compleja” modelo-teóricamente (clasificable) que T’ (por ejemplo, si T’ es superestable con sDOP o si es estable no superestable).

Más allá de los detalles técnicos (pesados) de esto, lo interesante es que dos nociones de complejidad aparentemente muy dispares terminan coincidiendo en cardinales no contables suficientemente grandes: la jerarquía de estabilidad y la reducibilidad (Borel o continua) de relaciones de equivalencia asociadas a las teorías en el espacio de Baire.

Es uno de los casos en que para cardinales suficientemente grandes la teoría de modelos danza en buen ritmo con la topología (de Baire).

Lo más interesante es que en el caso clásico (contable, teoría descriptiva de conjuntos) no sucede ésto. Allá la jerarquía de estabilidad y la de reducibilidad-Borel se comportan de manera bastante disonante.

Todo esto es parte del tema más general de búsqueda de regularidad esencial en teorías de primer orden, una vez se permite uno a sí mismo subir más en los cardinales.

Cardinales más grandes —– Mayor regularidad de comportamiento


Un poco como si el infinito si no es muy grande contuviera aún mucho “ruido” pero este ruido se disipara al subir más.


La variante más famosa y conocida (aunque mal – poca gente incluso en teoría de modelos conoce la demostración) es el Main Gap de Shelah. Lo que sucede en estos teoremas de teoría descriptiva de conjuntos generalizada que mostró Miguel Moreno es que de alguna manera el Main Gap también se captura con teoría descriptiva de conjuntos… siempre y cuando la libere uno de la hipótesis de trabajar en espacios polacos.


Este tipo de “regularización arriba” ocurre en otros temas también: en propiedades de grupos de automorfismos (la propiedad SIP vale automáticamente en modelos saturados no contables de teorías de primer orden, como probaron Lascar y Shelah e incluso vale en modelos no contables asociados a clases cuasiminimales como demostramos con Ghadernezhad – ¡pero puede fallar de manera estrepitosa en muchas teorías contables!), etc.


Hoy tuvimos seminario entre la 1:30 y pasadas las 5 de la tarde. Miguel habló todo ese tiempo sobre estos temas. Fue muy interesante sumergirse en ese mundo por unas horas.


Después del seminario pasé en la bicicleta a probar los helados de Selva Nevada en el Parkway. Creo con toda honestidad que es la primera heladería seria que ha surgido en Bogotá. Nada del nonsense de Orzo (con sus sabores chimbos tipo Oreo o Nutella), y mejor aún que la de Gastronomy Market de la 72 con 5 – mejor textura, nada de perfumes raros. Verdadero gelato que se merece el nombre. No había probado nunca helado serio en Bogotá.

Eutifrón, en un evento en honor a Magidor

Hace pocos días en Jerusalén tuvo lugar el evento Menachem Magidor 70th Birthday Conference.

Juliette Kennedy dio una conferencia en ese evento, con título The Philosopher’s Second Sailing, or: Reading Gödel on the Euthyphro.

El ensayo de Kennedy para el evento de Magidor es sumamente interesante. Espero que pronto se convierta en un artículo. El tema está bien descrito en el título: el segundo zarpar del filósofo fue un tema que a Husserl le llamó la atención, pues en 1909 él mismo tuvo una crisis vital que lo obligó a cambiar de rumbo fuertemente a nivel filosófico. Kennedy parte de las conversaciones que sostuvieron Gödel (en los años finales de su vida) y Sue Toledo.

Algunos de los temas que aparecen desarrollados en el artículo de Kennedy:

  • la crisis de 1909 en Husserl; parece que el tema obsesionaba a Gödel
  • finitismo, intuicionismo, y el Eutifrón – el diálogo platónico sobre lo sagrado
  • a Gödel parecía interesarle más el Husserl post-1909 que el anterior (por ejemplo, el de las Investigaciones Lógicas de 1904) – a Gödel parecía atraerlo mucho más la visión fenomenológica que desarrolló Husserl a partir de esa fecha
  • el ego fenomenológico que no es algo separado de sus experiencias; es simplemente idéntico a la unidad interconectada de éstas
  • es también la época en que emerge de manera más contundente el concepto de epojé (Einklammerung, bracketing, poner entre paréntesis) y su rol en la fenomenología – y el rol del sujeto como parte activa del problema de la existencia de objetos matemáticos – la raíz de ἐποχή parece ser la misma de “mantener a raya” o “mantener en suspenso” – como condicionar un pago o trancar físicamente a alguien…
  • en su segundo zarpar en 1909, Husserl parece obscurecer intencionalmente su lenguaje – un poco como si quisiera obligar al lector a ir muy despacio, como si dar demasiada claridad permita que el lector “se salte” puntos claves – ¿giro de lo exotérico a lo esotérico en Husserl? Aparentemente a Gödel le interesaba mucho este punto del lenguaje que cambia y que se obscurece, claramente de manera intencional. Hay un punto en común muy interesante ahí con el lenguaje de los místicos y su oscuridad. Un poco inverso a lo que en general buscamos viniendo de la matemática – venimos de un lenguaje que es oscuro para casi todo el mundo y sufrimos las consecuencias de eso; en Husserl como en ciertos místicos (y seguramente en Gödel tardío) parece haber un valor especial en lo oscuro, en lo oculto…
  • el diálogo Eutifrón es una de esas búsquedas infructuosas en torno al concepto de lo sagrado, lo sacro – iniciado por el encuentro de Sócrates con Eutifrón en las cortes atenienses; Sócrates está siendo juzgado por impiedad y corrupción de menores, Eutifrón demandó a su padre por asesinato de uno de sus criados; el padre de Eutifrón había apresado al criado y lo había dejado morir en una zanja después de que el criado a su vez había matado, borracho, a otro criado…  dadas las leyes atenienses, la demanda de un hijo contra su padre era improcedente (a menos que hubiera matado a algún familiar, pero ciertamente no si había matado a un criado) y se rumoraba en Atenas que Eutifrón era impío (no sé si otra palabra describa/traduzca mejor el atributo) por haber denunciado a su padre, sobre todo cuando el que este había matado “ni siquiera era de la familia”…
  • como las acusaciones contra Sócrates y contra Eutifrón eran similares, Sócrates decide explorar lo sacro, lo sagrado, aprovechando la experiencia de alguien que ya pasó por pensar en esos temas, en los estrados – después de cinco definiciones fallidas, el tema sigue abierto
  • aparentemente Gödel trataba de entender el porqué de la debilidad de Eutifrón en sus argumentos, el porqué de la cobardía de Eutifrón (sale corriendo al no encontrar solución): a Gödel parecía preocuparle la cobardía de refugiarse en leyes y no encarar las consecuencias de sus propios razonamientos – Eutifrón usa “religión racional” al acusar a su padre pero no entiende las consecuencias de lo que está haciendo

El artículo explora más a fondo las preocupaciones de Gödel en esas conversaciones al final de su vida con el tema de la honestidad intelectual. Kennedy adicionalmente lleva el problema al entender fenomenológicamente el tipo de objetos de la teoría de conjuntos (Kennedy, Magidor y Väänänen tienen además un proyecto de definibilidad intermedia entre primer y segundo orden, algo que en un extremo daría el universo conjuntístico construible de Gödel, L, y en otro extremo daría HOD, pero hilando fino con diversas definibilidades resultan obteniendo otras nociones intermedias, algunas muy robustas a forcing y con conexiones sorprendentes con grandes cardinales).

 

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Menachem Magidor en el Instituto Mittag-Leffler, 2009. [Foto: AV]

[Nota Bene: Para muchas personas, un hombre tan multifacético como Magidor no necesita presentación, pero vale la pena recordar brevemente aquí que, además de ser uno de los especialistas más sofisticados en teoría de conjuntos (trabajos importantes desde la década de 1970 hasta el presente) a nivel mundial, Magidor ha sido rector de la Universidad Hebrea de Jerusalén (entre 1997 y 2009), dirigido tesis doctorales en varios temas (además de matemática, en filosofía y en computación), y según entiendo tiene trabajos incluso con equipos de arqueología de Israel.

Mi recuerdo de él cuando estuve en Jerusalén es tenue, pues él estaba en sabático fuera del país durante mis primeros meses allá, y cuando llegó era el decano de Ciencias y luego el rector.  Pero sí recuerdo vívidamente que aún siendo rector iba al café Beit Belgia en el campus los viernes por la mañana (en Israel, los viernes son como nuestros sábados, pues la semana laboral es de domingo a jueves y a veces el viernes por la mañana), donde paraban muchos de los estudiantes de doctorado en matemáticas y trabajaba con algunos de ellos, siendo rector. Era un rector profundamente comprometido con los temas académicos.

Su trabajo en teoría de conjuntos tiene contribuciones cruciales como sus trabajos ya clásicos en cardinales fuertemente compactos, en axiomas de forcing (Martin’s Maximum, variantes más fuertes), en toda clase de variantes de definibilidad en lógicas intermedias entre primer y segundo orden, en cuantificadores generalizados, en forcing semipropio, en propiedades de compacidad generalizadas, etc.]

fff back in shape

Our Model Theory and Set Theory blog (fff – Forking, Forcing and back&Forthing) is back in shape! You can read recent posts by Artem Chernikov on the SOP_n hierarchy inside NTP_2 theories, on counterexamples for forking, dividing, invariance, a post by myself from a couple of weeks ago on large cardinals in abstract elementary classes, and older posts by Ayhan Günaydın on Pila-Wilkie and by John Goodrick on bi-embeddability and the Schröder-Bernstein property!

fff
(Click on the picture to go the blog…

Large cardinals in AECs: back to the road.

The connections between Model Theory and Large Cardinals have recently been given a very interesting boost (and twist) in the work of Will Boney, a graduate student at Carnegie Mellon University.

Boney builds his results on a line originally opened in the papers by Makkai and Shelah ([MaSh:285] Categoricity of theories in L_{\kappa\omega}, with \kappa a compact cardinal — Annals Pure and Applied Logic 47 (1990) 41-97) and Kolman and Shelah ([KoSh:362] Categoricity of Theories in L_{\kappa,\omega}, when \kappa is a measurable cardinal. Part 1 — Fundamenta Math 151 (1996) 209-240) and a follow-up by Shelah ([Sh:472] Categoricity of Theories in L_{\kappa^* \omega}, when \kappa^* is a measurable cardinal. Part II — Fundamenta Math 170 (2001) 165-196): use of strongly compact ultrafilters to get relatively strong “compactness-like” properties, uses of measurable embeddings to get reasonable independence notions.

But Boney seems to go much further: by taking seriously the consequences of the presence of the embeddings and ultrafilters, he provides

  • a Łoś Theorem for Abstract Elementary Classes – under strongly compact cardinals \kappa: closure under (\kappa-complete) ultrapowers of models in the AEC, connections between realization of types inside monster models of the class, in both the ultrapower and the “approximations”
  • a duality (under categoricity at some \kappa – no large card. hypotheses here) between tameness and type shortness. Tameness can be regarded as a strong coherence property over domains, for types, type shortness is the analog but switching the coherence from domains of the types to realizations of the type
  • under a proper class of strongly compact cardinals, nothing less than a version of the Shelah Conjecture (eventual Categoricity Transfer from a Successor, for AECs) – Boney essentially gets tameness and type shortness of such classes; the meat of the proof really is there
  • under smaller large cardinals (measurables, weakly compacts, etc.), he gets different, weaker results, by using ultrapower techniques allowing him to gain control of properties of the class – reflection properties become crucial for model theoretic properties other than categoricity (stability, amalgamation, uniqueness of limit models!)
  • finally, his results open up many questions that puzzle one: what is the actual strength of Shelah’s Conjecture? where can the counterexamples started by Hart and Shelah (and refined by Baldwin and Kolesnikov) be pushed?

Here is also a skeleton for a Seminar Lecture in our Logic Seminar in Bogotá (in Spanish).

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Ed Pien – Spellbound (picture by avn, Toronto 2012)

La subida a la montaña con los lógicos matemáticos (conjuntistas y modelistas – David, Miguel Ángel, John, Álex, yo), con María Clara y Luna el sábado fue espléndida. Se perdieron justamente los tres no bogotanos (David, de Barcelona – Miguel Ángel, del DF, John, de Berkeley) pero luego aparecieron en el apartamento por otro camino. Estuvimos a punto de pedir gallina criolla de almuerzo, pero Miguel Ángel la vetó. Terminamos pidiendo pizza de Oliveto y yendo a tomar canelazo en el centro – con final bueno en Minimal.

guayabo / resaca / cruda – Borel

Hoy me levanté con resaca. Imposible no: las comidas en casa de nuestro amigo Enrique de Barcelona son eventos maravillosos que incluyen mucho, mucho, mucho vino. Y spritz. Tomé con mi resaca el camino (eterno) de vuelta al CRM esta mañana (metro 3 primero desde Joan Güell hasta Plaça Catalunya – luego el largo, larguísimo recorrido hasta el pueblo de Bellaterra en la S2) y llegué un poco tarde. La discusión estaba en pleno. El ejemplo que nos da independencia en todos los א_n no sube hasta א_ω. Pero algo es algo.

No recordaba este problema abierto (muy bonito y muy profundo) de Shelah: si ψ es una sentencia en Lω1ω que tiene un modelo en tamaño א_ω1 entonces debe tener un modelo de tamaño continuo. Obviamente el problema tiene que ver con la estructura de los reales (con aspectos aún desconocidos del continuo). Fuera del problema de espectro (que debe probablemente apelar a teoría de modelos muy seria), esta pregunta le interesa a gente como Hjorth, Hrushovski y Velicković, por razones diferentes. Seguro Todorcević le podría sacar mucho jugo a esa pregunta también.

A mí me recordó la época de los cuadrados borelianos: el primer artículo de Shelah que leí de extremo a extremo, hace mil años. Repleto de cosas extrañas que no podía entender, pero que me fueron llevando por ese túnel mágico que conecta la teoría de modelos con la teoría de conjuntos – en mi caso recorrido en el sentido contrario. Curioso reencontrarme con los cuadrados borelianos, que creía eran parte de mi prehistoria matemática, aquí en Barcelona (y entender ahora detalles que se me escapaban entonces). Nunca lo sospeché (I have always been so naïve…).

Ahora veré si entiendo bien por qué aplicar PFA es lo mismo que suponer CH y luego aplicar MA (cosa que parece contradictoria a primera vista, pero que, dicen algunos como David, es un truco común).