more Pannonian notes

Y sigo leyendo a Magris – su capítulo Pannonia en esa novela-río Danubio – las notas sobre la Hungría y su política en el siglo XX, su complicada conexión con los Habsburgo, su fuerte ambigüedad durante la época final del régimen soviético


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«Il giallo dei girasoli e del granturco si sparge sui campi come se l’estate avesse piantato le sue tende fra queste colline; l’Ungheria – della quale il cancelliere absburgico Hörnigk, sostenitore dell’economia mercantilistica, voleva fare nel Settecento il granaio dell’impero – è anche questo colore caldo e vitale, che continua nell’ocra-arancione dei palazzi e delle case.»


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«Ma è un’intenzione precisa che ci conduce, scombinando la linearità del percorso, a Mosonmagyaróvár. Qui, la notte del 2 novembre 1956, …»


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«Il Danubio scorre verboso sotto i ponti titanici, come scriveva Ady, invocando la fuga e perfino la morte nella Senna, in quella Parigi che Budapest riflette come una specchiera stile impero. Può darsi che l’Europa sia finita, provincia trascurabile di una storia che si decide altrove, nelle stanze dei bottoni di altri imperi.»


Y finalmente, un pasaje para el que no tengo fotos – por lo menos no de momento – pero que resume de manera perfecta lo que algunos percibimos al pensar en cierto tipo de objetos matemáticos:

«Esiste un futuro del passato, un suo divenire che lo trasforma. Come la realtà, anche l’io che la vive e la guarda si scopre plurale. Attraversando i luoghi segnati in quelle epiche cronache di trent’anni fa, si ha l’impressione di squarciare sottili pareti invisibili, strati di realtà diverse, ancora presenti anche se non afferrabili a occhio nudo, raggi infrarossi o ultravioletti della storia, immagini e attimi che non possono ora impressionare una pellicola ma che ci sono, che esistono al pari degli elettroni inattingibili per l’esperienza sensibile.»

Este párrafo me queda imposible no traducirlo. De nuevo al vuelo, dice Magris: “Existe un futuro del pasado, un devenir suyo que lo transforma. Como la realidad, también el yo que la vive y la mira se descubre plural. Atravesando los lugares marcados en aquellas crónicas épocas de hace treinta años, se tiene la impresión de rasgar sutiles paredes invisibles, estratos de realidades diversas, aún presentes aunque no comprensibles a simple vista, rayos infrarrojos o ultravioletas de la historia, imágenes y momentos que no pueden ahora marcar impronta sobre una película pero están ahí, que existen a la par de los electrones inalcanzables a la experiencia sensible.”

El hace treinta años naturalmente se refiere a los eventos de 1956 en Hungría, a ese horror de invasión soviética que generó la primera grieta profunda en la consciencia del comunismo occidental. Danubio fue escrito en 1986 – apenas siete años después de mi propia experiencia con el Danubio – y en ese sentido nos viene de otra época, de la cortina de hierro, sí, pero también de la cantidad de experimentación que según Magris había en países como Hungría de entonces («un clima di distensione politica interna e di liberale benessere» aunado con «generazione di scrittori ungheresi […] scalpitavano dinanzi ai progressi della società ungherese, che sembravano loro troppo lenti e cauti, e cadevano in un sentimento d’impotenza e vacuità…).

Pero más allá de los años 80 mirando hacia los años 50 (y nosotros en nuestros desbrujulados años 10 mirando tanto los 80 como los 50 a intervalos de treinta años), el párrafo de Magris habla de esa superposición tan importante en nuestra matemática contemporánea, de la posibilidad de coexistencia de tantas realidades – tanto de la realidad como del yo. No solo los años 50 superpuestos a los años 80 (y ahora a los años 10) sino miles de realidades espectrales ahí presentes.

Nada de eso es particularmente húngaro, pero es cierto que lugares como ese corredor tan cambiante (y persistente y discutido) entre Viena y Budapest, y la ciudad misma de Budapest, ciudad-escenario por excelencia (ciudad-haz por excelencia, imagino que podría decir Fernando), ciudad de las superposiciones y los tránsitos, ciudad doble Buda y Pest y a la vez vibrante sobre sus puentes, ciudad de la combinatoria juguetona que nutre el lado Pest de la matemática, y que se lanza por esos puentes gigantescos hacia el otro lado, Buda, acaso el lado geométrico.

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del día a día – México – curadurías – vibraciones – sonoridad

El Zócalo, 20.11.2014. Imagen de twitter.
El Zócalo, 20.11.2014. Imagen de twitter.
  • La protesta en México por los 43 estudiantes desaparecidos en Ayotzinapa continúa. Hoy 20 de noviembre en el Zócalo hay miles de personas en manifestación pacífica – probablemente mezclados con alborotadores de la policía o de grupos de esos que (como en Colombia, como en nuestra Universidad) logran arruinar la genuina y legítima protesta. A esta hora parece que los manifestantes fueron sacados por los “granaderos” (el ESMAD de allá), y que lograron transformar una protesta pacífica de una tarde entera en unos incidentes terribles. Dice una tuitera desde allá (la periodista V. Calderón) que “la salida fue muy abrupta, pero (dentro d lo q cabe) tranquila. Una tristeza para una tarde q había transcurrido en paz “. Desde Bogotá seguimos muchos pendientes de todos esos eventos. Mucha gente se pregunta qué pasará si cae Peña Nieto. Yo mismo obviamente no sé, pero percibo que a estas alturas la gente sabe que el problema va mucho más allá de la permanencia o no de Peña Nieto en la presidencia de México.
  • Hoy fue uno de esos días espléndidos de muchas exposiciones (algunas excelentes, todas tuvieron algo interesante) de Discretas 2 y de Tópicos Avanzados de Lógica. En Discretas 2 hicieron análisis con aprendizaje de máquinas del juego del go (entrenaron un sistema basándose en bases de datos de maestros del go, y lograron llegar a varias limitantes del proceso); otro grupo presentó un análisis de sudoku en términos de geometrías finitas (afines y proyectivas) y otro grupo habló de evolución de poblaciones de virus. En Tópicos Avanzados de Lógica un estudiante presentó brevemente la prueba de indefinibilidad del buen orden en L_{\infty,\omega} (en realidad hizo el caso L_{\omega_1,\omega} pero indicó correctamente la idea para el caso más general), un teorema de Morley y López-Escobar que no solo es muy bonito (probado con propiedades de consistencia, o sea forcing modelo-teórico) sino tiene consecuencias profundas en el desarrollo de clases elementales abstractas. Otro estudiante en la segunda hora presentó la dicotomía (MA o diamante débil) para la categoricidad en clases elementales abstractas. Llegó a un punto interesante en ese tema que rápidamente se puede volver muy difícil y serio. Además hablamos con Alex Cruz de invariantes j y del Alterstraum de Manin (y el Jugendstraum, y Kronecker, y Klein). Finalmente fui al inicio de un homenaje a Grothendieck que hicieron tres estudiantes de maestría. Uno de ellos presentó una charla en la que enlazó varios trabajos de Riemann con la “prehistoria” de los haces, esos objetos que me son tan cercanos por la lógica, y que nacieron en la mente de Leray cuando estaba preso en un campo de concentración en Austria. Un francés puesto preso por los alemanes en 1942 fue el inventor de uno de los objetos más importantes de toda la matemática del último siglo (las gavillas – los haces topológicos). Solo puedo sentir inmensa y absoluta admiración por Leray. La charla del estudiante fue muy interesante. Buen día en la Universidad hoy (mientras en la 26 había un dril soso y aburrido de un par de grupos militares, adentro de la universidad había un festín intelectual, como debe ser).
  • Alejandro Martín me puso a pensar qué quiere decir hacer una curaduría. Un poco a pesar de él: mi primera reacción ante la exposición El diablo nos guía que está en una galería del centro de Bogotá es de rechazo a tanta curaduría. Cortinas rojas, biombos, tapetes con líneas  – todo eso aparece inmediatamente al subir a ver la exposición, y mi primera pregunta es: “¿y las obras qué? ¿y los artistas qué?”. Supongo que Alejo me diría “¡es que a veces el curador es el artista principal de una exposición!”. Y yo diría (en ese diálogo imaginario que mantengo con él, como con muchos otros, permanentemente): “¿y por qué?”. Le diría “¿no es el curador más bien como una partera, que debe ayudar a llegar al mundo a los artistas, pero debe retirarse, hacerse a un lado, una vez el bebé – la obra del artista – recién nacido está sano y salvo, y su madre – el artista, la galería tal vez – también sobrevive? ¿Quién quiere seguir con la partera ahí en el cuarto una vez ha nacido la niña o el niño?”. Pero Alejo me diría de alguna manera que soy un anticuado, que ese ideal de curaduría mío es ochentero o setentero o del siglo antepasado, y que ahora el rol de un curador es otro – como el de un super-dj que empieza a ser más importante aún que los músicos que grabaron los discos. Y yo, que sigo sin entender de verdad qué diablos es un dj, fuera de una persona que pone discos y medio sabe escogerlos según la temperatura anímica de la fiesta, le diría “ok, pero en ese caso, ¿no sería bueno hacer distinciones? ¿llamar las nuevas curadurías con otro nombre? ¿performance-curatorial? ¿de pronto ya existe el nombre en alguna parte y yo no me he enterado?”. Al fin empiezo a entender que con semejante despliegue de medios materiales y de recreación de ambientes el curador nos está creando una atmósfera y un punto de reflexión desde lo extremo. En lugar de plantearlo desde un ensayo, lo plantea desde la obra curatorial misma. … Yo confieso aquí que aún quedo muy confundido, y pude ver solo tal vez la mitad de las obras (la película del director de La tierra en la lengua, los dibujos giratorios espléndidos de María Isabel Rueda, la escultura en el cuarto final). El cuarto inicial, con muchas fotos y muñecos alusivos a la guerra. … La curadoría también me trajo a la mente la película de Greenaway The Cook, The Thief, His Wife and Her Lover por la estética roja y los vericuetos. Y obviamente me trajo a la mente la obra de teatro / curaduría en el Hotel McKittrick de Nueva York – la obra Macbeth interpretada en ese lugar gigante repleto de recovecos. … Intentaré ir mañana que todavía está la exposición para verla de nuevo. Pensé en la oferta de Alejo de usar las mesas para alguna charla, pero entre Mapping Traces y el final de mis cursos, con esas exposiciones ya listas, no queda mucho tiempo y ya casi se acaba.
  • Tal vez últimamente me siento más cómodo con estéticas minimalistas. (Pero reconozco el valor del “ensayo curatorial” al ponerme a pensar en esto que estoy tratando de articular por escrito.) En todo caso, todo esto ha sido una buena invitación a repensar en temas curatoriales. Estoy feliz con la curaduría de Mapping Traces que hizo María Clara (me parece interesante que parta de un problema matemático y filosófico, me encanta el minimalismo en esa sala, me parece que las obras vibran mutuamente ahí y dialogan todas entre sí)… pero soy demasiado cercano para juzgar éso. Y estoy incómodo e inquieto (tal vez la mejor postura intelectual para pensar nuevas cosas) con la curaduría de Alejo, pero incómodo por razones (como siempre) interesantes.
  • Sigo inmerso, lenta pero inexorablemente, en la lectura de Schopenhauer. De lejos lo más lúcido que he leído en mucho tiempo. Obviamente, la teoría de la representación en su estado prístino inicial. Pero el contraste con el rol de la voluntad. El ojo.
  • Retomé el piano hace como un mes y medio, con el piano francés Furstein que era de Jaime Cortés y luego de Álvaro Cortés. Ahora está aquí. Vendí el piano eléctrico y está solo éste. Me encanta el sonido (pese a que hay que afinarlo ya pronto). Me encanta por lo orgánico, lo madérico, lo no-electrónico – ando feliz reduciendo el exceso de tecnología en mi vida cotidiana: discos de vinilo cuando se pueden oir bien, piano de cuerdas y madera que suena mil veces mejor (más complejo) que el mundo electrónico. La pura sonoridad me llevó a retomar lo que sabía tocar (no mucho, pero ahí está) y a estudiar nuevas cosas. La pura sonoridad. (Ahora necesito volver a tomar clases.)
  • Yuxtaposición. Poner las cosas juntas y dejarlas hablar a veces vale la pena. Mapping Traces fue un ejercicio un poco extremo de eso. Pero ahora mismo con Álex Cruz estamos tratando de poner junto a Manin con Zilber, a j con {\mathbb F}_1, a los haces de Zilber (álgebras de Weyl) con haces modulares. No es claro qué puede surgir de ésto. Por lo pronto quiero entrar a re-estudiar el cálculo (de Dirac) hecho por Åsa y Tapani, pues creo que ahí está la clave de algunas de esas yuxtaposiciones.
  • Transposición. Mejor aún que yuxtaposición. Inicio de…

Minimal notes.

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Fragment of a topos: Through a glass, blurredly. June 2014.
  • Aotearoa, next 10 days. To dive into conversation with a mathematical couple (he, an opener of Shelah’s “third way” (according to the Lazy Model Theoretician guide), she, an algebraic geometer). Will try to pay honor to Ruapehu, if time allows it.
  • Back to LPs for sound (now, with USB connection). Warmer? Different sampling?
  • Neighbor is a fan of Mos Def. While I shower I hear his Mos Def – not sure if I like it that way, but at least I know the song (and like it). Being a model theorist, seeing the words Mos Def, I cannot help thinking what kind of definability is he implying in his works. I cannot not see definability whenever it is hinted at, even unwillingly or unawares.
  • Extreme fatigue caused by election nervousness: the state of all around me, myself included. Brutal weariness.
  • Guasca: veredas ondulantes a 2900 metros. Fin de semana idílico, en un paisaje que ya empieza a dejar la Sabana, sin ser realmente el Páramo.
  • Pleasantly surprised by Bovykin’s approach to Paris-Harrington, presented in my logic class by three students. I asked each group (at the start of the semester) to find their own project subjects – they had freedom to discover it, but then had to work on what they chose. This group chose to work on Paris-Harrington (we saw Gödel’s Incompleteness by the middle of the semester and I had been mentioning the more “close to real mathematics” result by Paris and Harrington). They found Bovykin’s approach to be much more readable – one of them seems to have gotten well the role of cuts and minimal initial segments.
  • Backlog in almost everything.
  • (Godement (following Cartan and Grothendieck))’s treatment of classical construction of sheaves veers close to invariant sheaves in model theory.
  • Zalamea (Fernando) has managed to write a letter that is at the same time personal and a work of art – close to the style of his late brother Gustavo. I received that letter, and I feel I have a version of a “dual Zalamea”, a kind of hybrid of the talents of the two brothers. I have tried to photograph it in a way that blurs the personal, yet allows the “tree” structure, the “pictorial” background to be seen and appreciated. No success: my abilities as a photographer, when trying to “mod out” reality, are too limited.
  • In our project topoi (where we have been slower than at the beginning, for good reasons that have to do with internal dynamics of the project itself), we have been trying to capture dynamic topoi  –  “dynamic systems” that like the other topoi, bridge the (almost impossible, yet almost obvious) conversation between two artists and two mathematicians. So far, the project has been building up, slowly really slowly, the new path toward dynamic topoi.
  • I truly liked my other student’s presentation of Hrushovski’s cryptic line in the Covers and EI paper – ninety minutes of Galois theory to cover up a sentence. Beers after seminar were welcome, and good.
  • I see more and more young parents around me (well, not really young – compared to my own parents when they became parents, they are really old, but I mean “young parents” as in “parents of small children”) incredibly concerned about every little detail of their children’s life, to an insane degree. Unhappy with all school systems, unhappy with vaccines in some cases, unhappy with possible germs in schools, they utter sentences such as “how can I trust my dear child to unreliable teachers, horribly bad influence of society, strange people’s children?”. They ponder and discuss and are concerned endlessly about wanting their children to be atheistic and free from bad influence from religion, or wanting their children to be free from violence in movies or TV, or maybe decide to home-school their children because schools are “all so terrible”. Those poor children are the center of too many concerns, and I worry they will react sharply to their parents’ extreme insecurities. While they may not hear their parents’ constant concern being voiced over, they for sure can feel it and may absorb the excess insecurity of our times. Too much helicoptering doesn’t forebode well for those poor children of over-concerned parents.
  • For a month now, have listened to no hip-hop and no rap (except for my neighbor’s Mos Def). Cleansing my own ears and mind is good, to appreciate better. Now Mahler and Bruckner and Schoenberg are filling the void.
  • Like our ancestors, I always feel that when the semester ends I crawl, slowly, out of a boiling pool of water, slowly into open air. While I like very much teaching (and consider it a privilege), I also love being freed from teaching obligations, at the end of the semester. Both feelings seem contradictory, but both are important. עֵת לִפְרוֹץ וְעֵת לִבְנוֹת.

The garden of forking paths

Reading a sentence like this about a friend, also a colleague three doors down the corridor, written by someone I do not know, in a blog devoted to interpretation “with-and-beyond Novalis” gives me hope for many good things:

I have no hesitation in saying that Fernando Zalamea’s book Synthetic Philosophy of Contemporary Mathematics is the most important one today in the field of philosophy of mathematics — not so much for its uniquely Goethean discoveries and sheaf theory — but for its explicit call to dialogue and exploration of the wild heart of life whose name is Satyagraha of which the world of mathematics is but a ever-significant microcosm.

(The author of inthesaltmine)

Of course, I am not surprised: Zalamea’s book is the main eye-opener in this generation in Philosophy of Mathematics. I can only feel deep gratitude to have crossed his path at an early age (when I met him, I was 22 years old; Zalamea was the reader of my Master’s Thesis with Xavier Caicedo: his comments to my thesis were at the same time incredibly encouraging, and they allowed my to glimpse and have a sense of the potential of the theories I was starting to study at the time). Our paths have crossed in different places (oddly, not so much in the Math Department of Bogotá, although we have been members of the same committees and have offices in the same corridor, just three doors apart): Catalonia, for several intense days during which Fernando drove with MaríaElsa, and María Clara and me through minimal roads leading through gorges and precipices to the wildest dreams of imagination of the Romanesque Period in the monasteries of Catalonia, or Finland (where we had to leave before his arrival – the paths did not quite cross but almost did – we connected through aspects and places in Helsinki). Or, oddly enough, in New York – crossing paths in a weird way earlier this year. Or else through the volume Rondas en Sais, edited by Fernando, with papers by Javier Moreno, Alejandro Martín, Alex Cruz, Francisco Vargas, myself and of course Zalamea himself… Or in El Vendrell…

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A few years back, María Clara Cortés and Fernando Zalamea, by the sinking boat…

The search for Lautman (physical, in a street of Toulouse; conceptual, through the years), the use of new frames of mind, all this is a sort of dialogue that the author of inthesaltmine proposes after his reading of Zalamea’s volume.

Dialogue with Zalamea is of a weird kind: he is not (often) devoted to direct exchange of ideas: to engage dialogue with Zalamea, you essentially have to do a lot of work, give some lectures, and after that you will get a response in the form of a comment to some aspect of your lecture; or else write an essay (or even better, publish a paper or a book!) and you will get incredible feedback. Zalamea is (also) an extremely keen and sharp reader – one of those readers who may discover many things in your own text that “were there but you didn’t notice until he pointed them out”.

Recently, the “phenomenological sheaf” has started to twist itself: in later musings, we (with Gabriel Padilla, with Tim Gendron, etc.) have started to include the effect of actions by groups on the fibers – actions coherent and exact themselves – sheaf actions and their quotients. These give rise to new objects, quotients of sheaves, contorted sheaves, torsion incorporated in a sheaf-like way. A first (mathematical) foray, done with Gabriel, already extends the Generic Model Theorem to this new realm, and opens the way to twisted objects. With Tim, the work connects these objects with problems in number theory (no paper yet there).

Un seminario tri-direccional

El seminario de Geometría y Teoría de Modelos este semestre está en modo jónico: en contraste con el modo dórico del semestre pasado, cuando todo estaba super-anunciado de antemano y muy organizado, este semestre son puras jam-sessions, improvisaciones según lo que vaya saliendo. Esa alternación entre modos dóricos y jónicos (o mayores y menores, o visibles y bajo perfil, si se quiere) me gusta. Permite mostrarse un poco en los semestres visibles, hacer algo de pasarela matemática, invitar gente, ser visible. Pero luego alterna uno con el trabajo yamsesionado, más libre, con unos pocos estudiantes y el visitante ocasional, y avanza uno en ideas matemáticas durante los semestres menos visibles. Somos unos cinco o seis, pero es realmente muy peculiar que es un seminario que jala en tres direcciones distintas.

Ayer mi charla se llamaba Haces de tipos y tipos de haces y daba los primeros pasos hacia lo que deberá venir después de nuestro artículo con Gabriel Padilla y nuestro artículo con Maicol Ochoa. Iniciamos ahora sí el camino hacia estabilidad (pero desde el principio tratando los espacios de tipos como lo hace la gente de Grupos Compactos: como espacios-moduli o foliaciones o cocientes de haces cuyas secciones son los tipos orbitales, tratando de usar al máximo la geometría desde el principio). Ayer inicié en lo más básico del mundo con un test de Tarski-Vaught para extensiones elementales de haces, luego seguí a tipos-haces y teorías-haces (surgieron varias preguntas técnicas naturales: exactitud y coherencia de los prehaces asociados, universalidad local y \kappa-saturación local de prehaces – y conexiones posibles con el trabajo de Will Boney en su teorema de Łoś generalizado a clases elementales abstractas bajo grandes cardinales).

Pero lo más interesante fue contar con las preguntas de los geómetras (Gabriel y su estudiante Walter Páez, que está realmente a mitad de camino, pues anda estudiando estabilidad en teoría de modelos también) y las preguntas de teoría de Ramsey de Goyo – Goyo logró ver similitud entre mis construcciones y trabajos de Natasha Dobrinen con Stevo Todorcevic – trabajos en que acumulan espacios de Ramsey, van dando mejores y mejores aproximaciones (obviamente, muy combinatorias), controlan ultrafiltros con el orden de Tukey-reducibilidad (aparentemente ortogonal a nuestras clasificaciones, si le creemos a Artem y a John)… y el punto de vista de sistemas dinámicos.

El 20 27 de mayo hablará mi estudiante Johan García (que vendrá de Medellín) sobre formalismo tannakiano – Johan viene de la teoría de la representación (trabajaba con Zavadskyy hasta la muerte súbita de ese profesor) y decidió aterrizar en la teoría de modelos, vía Hrushovski y Kamensky. Creo que será interesante contrastar.

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Óscar Muñoz – Autorretrato en agua sobre piedra

Independència(s)

Parece que la Independència de Catalunya ahora sí va en serio. Por lo menos eso podría uno concluir por mero conteo, al notar que El País dedica dos artículos de su pantalla principal en internet al tema (el segundo, nada menos que un llamado de Juan Luis Cebrián a la “cordura”). Por otro lado Avui suena como si la independencia ya fuera inminente y se pregunta cosas como si el ejército español enviará los tanques contra Cataluña, si Cataluña quedará fuera de la UE o fuera del euro. En uno de esos artículos dice Avui que “la UE no querrá otra Noruega, otro país rico fuera de su seno” – como un especie de argumento volitivo para no salir de la UE aún saliendo de España (¿realmente creen los de Avui que Cataluña es comparable con Noruega?).

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Andrés Caicedo explica cómo demostrar el Teorema Fundamental del Álgebra a punta de pura Álgebra Lineal (se basa en una prueba de Derksen de la prueba de existencia de autovectores para cualquier operador lineal en un espacio vectorial complejo de dimensión finita – prueba que evita el Teorema Fundamental del Álgebra y que permite deducirlo). Curioso y simpático todo eso.

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Javier Moreno nos envió desde Canadá dos cosas: un delicioso tarro de jarabe de roble y una novela de Helen DeWitt (The Last Samurai). Empecé a leerla en El Ocaso esta semana. Es rara – hay momentos en que asoma una fuerte tristeza en esa madre empeñada en enseñarle mil y mil y mil cosas a su hijo. Lleno de silabarios (ひらがな y カタカナ obviamente), cosas en 日本語, mucho en griego homérico, etc. etc. etc. —- es un libro hasta ahora muy atizador de curiosidad, muy juguetón y a la vez muy melancólico. No tengo ni idea para dónde va.

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A falta de una, fuimos dos veces al puente colgante sobre el Río Apulo esta semana: la primera fue el domingo, en esa caminata fantástica hecha con un grupo muy variado y simpático, de venezolanos y colombianos; la segunda ayer por la mañana (temprano salimos hacia arriba desde El Ocaso – llegamos al puente colgante en algo menos de una hora de subida muy empinada; allá me pegué un baño muy refrescante en el Río Apulo – a Apolo lo lanzamos también a que se refrescara pues estaba acalorado, pero es muy gallina a la hora de mojarse con agua fría). Fue un fin de semana extendido de trabajo y un par de caminatas increíbles.

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Creo entender por fin una demostración de extracción de indiscernibles (bajo ω-estabilidad, obviamente) en teoría de modelos de espacios polacos – cuando las fórmulas consideradas son todas Σ^1_1 o Σ^1_2 (o κ-Suslin). El hecho de tener Δ-tipos para conjuntos Δ no cerrados bajo negación complica la vida a Shelah (y a los lectores). Las definiciones de conceptos como categoricidad, ω-estabilidad, etc. cambian de manera muy divertida e inquietante. Por ejemplo, categoricidad en λ en ese contexto significa (puesto que todo lo interesante sucede en el cardinal del continuo) que al forzar dos veces mediante forcings que primero hagan que λ se vuelva el continuo y luego preserven el cardinal de λ (aunque agreguen muchos – a lo sumo λ – reales nuevos) se tenga isomorfismo entre las dos interpretaciones de las definiciones. Todo con un sabor muy L_ω1ω como esperaría uno para espacios polacos.

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Por otro lado, ahora la cosa está en teoremas del modelo genérico para objetos como foliaciones o cocientes de gavillas (bajo acciones de SL_2(Z) y similares). Parece más difícil que para haces. Si algo así sale, se acerca mucho más al mundo de teoría de números. El seminario ha estado duro e interesante. A veces me entristece no haber aprendido más geometría diferencial en Madison – pues ayuda de verdad a la hora de hacer las generalizaciones de teoría de modelos que estamos haciendo. Zoran sí lo hizo (trabajo con Robbin y finalmente se fue a geometría no conmutativa muy categórica); fue una excelente decisión.

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Parte de mí se pone feliz con la idea de Independència de Catalunya. Parte de mí se asusta con la inestabilidad cada vez más fuerte en que parece estar entrando Europa. Como siempre, estoy dividido con respecto al tema.

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Y no, no estoy de acuerdo con el argumento escueto de Javier Moreno. En siete párrafos cortos se da el lujo de despachar un problema muy complejo, con muchas aristas, caricaturizando a todo el mundo en el camino. Aunque me parece bien que ventile el tema, creo que cae en un exceso de simplificación que sencillamente hace que se caiga muy rápido casi todo lo que dice. Es bueno que desmitifique el otro argumento escueto de financiar “porque sí”. Pero en la mitad está el mundo real – no está ni en el extremo de Javier, ni en el extremo que Javier ridiculiza. Tal vez el espacio de las columnas de El Espectador termina produciendo eso. A mí me gustaría que Javier se lanzara a escribir algo con mucha carne, muy documentado, muy argumentado – digamos una columna tipo The New York Review of Books y no unas pocas frases estilo El Espectador. Ahí sí podríamos iniciar una discusión muy fructífera y productiva.

Teoría de modelos sobre haces, ahora en Bogotá

En estos días tiene lugar el Primer Encuentro de Lógica y Geometría – que organizó principalmente Gabriel Padilla, con el profesor Mijares del IVIC como invitado.

En Bogotá el tema de Teoría de Modelos sobre Haces es supremamente importante. En seminarios que tuvieron lugar en la Universidad Nacional en la década de 1980, Xavier Caicedo desarrolló una versión de lógica sobre haces original, distinta de versiones de MacLane, Joyal o Macintyre de ciertas maneras específicas. Aunque es más específica que la versión puramente categórica, es más general y sobre todo más natural que la versión booleana de Macintyre.

Varios estudiantes de Xavier Caicedo exploramos en múltiples tesis de maestría algunos aspectos de la lógica de haces, durante nuestra etapa de formación inicial.

Posteriormente, algunos de nosotros hemos seguido trabajando – al lado de muchos otros intereses – en aspectos de la lógica de haces. El tema ha empezado así a atravesar fronteras (de la matemática y del ámbito geográfico local). Por un lado, Fernando Zalamea en su libro Filosofía sintética de las matemáticas contemporáneas (reseña mía aquí) hace un uso radical, novedoso, de cierta interpretación de la lógica sobre haces, en una propuesta filosófica contemporánea que busca integrar, analizar y a la vez sintetizar, toda una variación continua de conceptos filosóficos que surgen de problemáticas de la matemática contemporánea.

Por otro lado, en trabajo conjunto con Ochoa – y más recientemente a raíz de conversaciones con Boris Zilber en Cuernavaca – he notado cómo muchas preguntas naturales que está haciendo la gente en distintos ámbitos están exigiendo (literalmente) nociones muy cercanas a la semántica de haces. Con Ochoa logramos una generalización de la teoría de Caicedo a ámbitos de lógica continua. Ochoa logra plantear el inicio de haces específicos para problemas de Química Teórica. Trabajos de Schoutens en Álgebra Conmutativa (y en teoría de números) están requiriendo construcciones cercanas a la semántica de haces.

Hoy en día el tema ha llegado a un punto de madurez interesante y a la vez peligroso (si no difundimos más este tema, si no vemos la importancia que tiene para la lógica en Bogotá -primero- y para la lógica en general -más aún en este siglo – corremos el riesgo de ver todo este tema redescubierto en otros lugares). En Helsinki recientemente dí un minicurso sobre el tema (septiembre de 2010 – evento para los 60 años de Jouko Väänänen), en tres sesiones de dos horas. Las primeras dos horas estuvieron dedicadas exclusivamente a la “teoría de Caicedo”. Las últimas a generalizaciones y construcciones más recientes.

Daré una versión (compacta) de ese minicurso en este evento de Lógica y Geometría este viernes y el próximo martes.

Matemática estos días

La tristeza infinita por la partida (incomprensible tal vez) de Mauricio Arturo fue el inicio de la semana. Dí mi tutorial tratando de hacer lo mejor posible, un poco en honor a Javier y Mónica que se merecen lo mejor que todos podamos dar en este momento – en honor a Mauricio Arturo que no pudimos conocer – pero la verdad, me costó prepararlo. Constantemente volvía a pensar en todo eso, constantemente se me iba la mente. Estaba armando una presentacion en beamer que me costó mucho trabajo llevar a cabo – la concentración se disipaba fácilmente. Me quedaba pensando en la charla, tomando té, leyendo cosas, volviendo a pensar en la charla, tomando té, pensando en Javier y Mónica y Mauricio, como hasta las tres de la mañana. Luego a las seis me volvía a despertar, sin haber terminado de organizar las ideas, sintiendo que algo clave aún faltaba. Y seguía alternando entre el pensar cómo acompañarlos, cómo entender algo incomprensible, cómo no ser un intruso – y cómo explicar bien adecuadamente la teoría de modelos sobre haces a ese público. Creo que las idas al sauna un par de horas por la noche fueron claves.

Sentía un peso de responsabilidad enorme: tener en un tutorial a personajes como Väänänen, Magidor, Hyttinen, Juhász, Kirby, etc. – uno hablando de teoría de modelos sobre haces y ellos que saben tanto, tomando nota de todo, preguntando —- la responsabilidad era enorme. Mis primeros días de esta visita fueron duros: constantemente pensaba y repensaba cómo plantear las cosas para que no fueran triviales y no aburrieran a esos personajes, cómo capturar posiblemente estudiantes que quieran trabajar en eso, cómo ser honesto con el tema y a la vez dar las cosas interesantes.

El tema es un poco subdesarrollado, comparado con otros temas que he trabajado. realmente, en un par de horas bien trabajadas se puede dar casi todo lo que hay en teoría de modelos sobre haces. El resto (eran seis horas) era dar la variante con Ochoa en lógica continua, explicar lógica continua, hablar un poco de estabilidad, y finalmente los ejemplos y una hora final dedicada a problemas abiertos. Y la conexión con los trabajos de Zilber – algo novedoso que empecé a notar en Cuernavaca.

Por otro lado, quería que quedara la contribución de Caicedo muy clara, que quedara muy nítido todo. Pero en dos horas se puede hablar de todo eso, y queda el resto del tiempo.

Kirby estaba familiarizado con los resultados de MacLane y Moerdijk, que en cierto sentido son más generales y en cierto sentido son menos manejables. También conocía la teoría de modelos sobre haces de Macintyre, que es menos general que ésta. Hablamos extensamente con él – hizo preguntas duras – pero creo que las construcciones de las sesiones dos y tres (dos horas cada una) resolvieron algunas de sus objeciones y dudas.

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Aprendí finalmente cómo trabajar con morasses (¿pantanos? ¿marasmos?) con el tutorial de Boban sobre juegos. No son más que sistemas de amalgamación inteligentes, donde uno aproxima estructuras en aleph_2 mediante estructuras en aleph_0. Qué tutorial tan bueno el de Boban.

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Aprendí también hoy sobre principios de reflexión _estructural_ (más allá de los de Lévy) en la charla de Joan. Los cardinales “correctos” parecen resolver problemas de “correctitud” que tuve antaño con mis cardinales fuertemente desdoblables. La motivación de Joan es sofisticada, y está concentrada en cardinales alrededor de los de Woodin, pero me parecen muy buenos sus resultados. Además, me encanta la conexión con teoría de categorías que están encontrando los de grandes cardinales. Algunos topólogos algebraicos les están poniendo mucha atención.

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Con John almorzando en Stockman retrabajé, reexpliqué la idea con David que parece que nos va a permitir de verdad probar la consistencia de una clase elemental abstracta categórica en aleph_1, sin AP en aleph_1 y categórica en aleph_2. Es una omega_3-iteración. Miramos detalles y pude responder a todas las objeciones de John. Sigue abierto cómo subir. No creemos que se puede subir más de omega pasos – y cada subida parece no trivial.

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Aprendí de Menachem hoy algo sobre cuadrados en kappa y la distancia a modelos internos de teoría de conjuntos. Curiosamente, esa tensión entre grandes cardinales y combinatoria para ocurrir también para diamantes débiles generalizados.

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En teoría de modelos parece ser que los problemas conjuntísticos ocurren por debajo de aleph_omega o algo así. Parece que de ahí para arriba las cosas se suavizaran. Aún no es claro eso. Pero suena razonable.

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No deja de ser extraño que tanta matemática clásica sea tan sensible a los axiomas de teoría de conjuntos (teoría de la medida, análisis, teoría de grupos, etc.) y en cambio la teoría de modelos de primer orden no lo sea: es absoluta. Obviamente Baldwin-Lachlan (y el rango de Morley controlando cosas) están detrás de esa absolutez – aún así es sorprendente. Además, Baldwin-Lachan es un teorema – no es una simple definición. Si alguien quiere convencerse de que haciendo teoría de modelos no tiene que considerar axiomas conjuntísticos, tiene que pasar por Baldwin-Lachlan (al menos) en lenguajes contables o por cosas más complicadas para lenguajes no contables. Curioso eso.

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Una idea bellísima de Gödel, ahora trabajada por Juliette, sobre definibilidad y calculabilidad. Si funciona, será lo mejor que he visto recientemente.

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Me contó Roman que Hans en Nueva York escribió un libro sobre integración motívica, y que la manera como la está explicando en los seminarios es muy parecida a mis explicaciones de teoría de modelos sobre haces. Sorpresa enorme. Tengo que ver qué dice Hans en su libro. Si son así las cosas, será algo fabuloso.

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Si algo sale de este minicurso (haber interesado a alguien, etc.) – creo que por fin la lógica sobre haces podrá arrancar y salir de ese nicho pequeño en el que ha estado hasta ahora. Wishful thinking, dirían muchos (yo incluido)… Creo en todo caso que este lugar, con esa libertad de pensamiento (flujo no ideologizado entre teoría de conjuntos y teoría de modelos, lógica clásica y lógicas no clásicas de varios estilos, matemática y filosofía) es lo mejor que hay para esas ideas.

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La libertad de pensamiento que vivo aquí me hace sentir como en una comuna de los años 60. Pero matemática, y del más alto nivel que hay. Casi no lo puedo creer.