recap – tarte tatin – stream of

Having no time to compose posts – to com-post, as it were – during these past days, I reduce my comments to some photographic hints of a few moments of these past heady days. No glimpse of a six-day immersion into the world of modular invariants with Tim – quantum and classical – one of the most beautiful times of my mathematical life so far. This is what I want to do, that is what I want to solve. On Sunday mere extreme, but elated, fatigue:

OLYMPUS DIGITAL CAMERADays before, a meeting with our friends F and ME, accompanied by tarte tatin [now made symbolic of all that’s not green jelly=analytic philosophy, tarte tatin is continental, phenomenological, husserlian, merleau-pontyian, perhaps even, in a twisted way, peircian! (I need to add the quote from F’s essay, of course…)] and fishpie – a meeting to reminisce the harshnesses and porosity of the Scottish coastline, all the while visiting beloved movies in our palates and minds, evoking Riemann surfaces and antinomian roots and branches (and so many trees, so many shapes in ME’s incredible collection). An infinite conversation, infinitely branching and porous and twisting and self-reflecting. An evening made of expectations, discoveries, much more unsaid than said, much more implied than stated. Like walking on the upper decks of those abandoned abbeys of Yorkshire and Scotland, made similar to the coastline by cumulated winds and storms, and glimpsing at the abysses, the fall, the vertigo. It was vertigo!

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No time to read: barely 30 pages of Gombrowicz: the fall into immaturity as told in Ferdydurke – one cannot read too fast such topics. It seems to speak of my own (daily) falls into immaturity, my own inner struggles between a mature AV and the many immature versions of AV that co-exist and resurface and bully the mature one as in the novel. The novel creates streams of consciousness, pro-bono.

Of course, a couple of articles for my logic course – among them, one by Schiemer and Reck called Logic in the 1930s: Type Theory and Model Theory. The very least I can do for my students if starting to teach mathematical logic for the n-th time is to renew sources, at least a little bit – and read about the origins (ideally, some original material as well). Juliette’s paper for the Bulletin is of course, another important source.

Teo visited today. MC took him to the big park at Museo del Chicó, to be in the park, to play. And then, afternoon, he stayed here, talking a bit, playing a lot, laughing and looking at labyrinths and building houses and car runs. He is almost impossible to photograph – he moves too fast for the low light of Bogotá, for my lack of flash in the camera.

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aritmética(s)

Roman Kossak dio un minicurso sobre teoría de modelos de la aritmética (resplendencia, trasplendencia, automorfismos maximales). Resultó maravilloso el curso – a mí me sorprendió a pesar de que había visto las diapositivas antes. La clave tal vez fue que logró no solamente saltar hábilmente entre resultados clásicos de Schmerl y resultados más recientes del mismo Schmerl y también de Dolich, Haskell, D’Aquino et al., sino dar inicio a un verdadero diálogo con los temas de varios de nosotros. Con dinámica de acciones de grupos y teoría descriptiva de conjuntos (Goyo y Carlos), con teoría de modelos pura (Xavier), más tangencialmente con los resultados de Álex.

La riqueza del tema, mezclada con la profundidad del conocimiento de Roman (me impresionó cómo realmente casi todas las preguntas que hacía ese público que incluía gente tan distinta Roman lograba contestarlas con precisión, sabiendo hasta dónde se conocen las cosas, qué obstrucciones hay, qué dificultades hay) me pareció espléndida para ese tipo de minicursos.

Los pre-requisitos reales eran solo (básicamente) teoría de modelos, hasta el punto de entender qué es un modelo saturado. A partir de ahí un estudiante pudo hacer un verdadero viaje intelectual por el mundo de los subsistemas débiles de la aritmética, las acciones de grupos de automorfismos de estructuras contables, el problema de codificación con suma y producto a la vez, lo que en realidad mide la existencia de extensiones cofinales de modelos (el segundo día Roman explicó una prueba de Schmerl en la que se usa de manera habilísima la resplendencia).

Los modelos de la aritmética dan de verdad para mucho.

La otra charla invitada (no minicurso) a la sección de lógica que tenía que ver con aritmética, pero desde el otro lado por así decir, fue dada por Tim Gendron (diapositivas aquí). Nos habló de tres tipos de invariantes modulares (el clásico [definido por Klein para curvas elípticas, y crucial en teoría algebraica de números], el cuántico [una versión de éste para toros cuánticos] y el universal). Habló de varias conjeturas ligadas con esto, y de varios haces construidos sobre modelos no estándar de los reales (vistos como campos con valuación) o de los complejos, y de varias foliaciones asociadas. Es un tema muy peculiar. Recientemente Zilber (y su estudiante Harris) han estudiado los invariantes modulares desde un punto de vista en cierto sentido diametralmente opuesto al de Gendron: usando categoricidad de cierta sentencia en L_{\omega_1,\omega} que describe la j:{\mathbb H}\to {\mathbb C} clásica como una casi-cubierta universal de los complejos, pero donde L_{\omega_1,\omega} se usa para describir “fibras estándar” (es decir, las fibras son exactamente las órbitas de {\mathbb H} bajo la acción de GL_2({\mathbb Q})) — y luego usando fuertemente teoremas de Mumford y Tate para lograr la categoricidad.

Un camino (Gendron, y más recientemente Gendron con Castaño-Bernard – haces, foliaciones) conduce a las generalizaciones no clásicas de j. El otro camino conduce, si Harris y Zilber tienen razón, hacia entender mejor invariantes modulares para variedades de Shimura – vía categoricidad.

Mi propio trabajo actual se alínea un poco más cercano a la línea abierta por Gendron. Sin embargo, la presencia de clases elementales abstractas (de manera profunda) en el enfoque de Harris y Zilber es claramente algo que deberemos tener en cuenta.

Las fotos son después del congreso, en un fin de semana largo en un apartamento que alquilamos en Cartagena.